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Gross-Pitaevskii-Gleichung
Aus Kefk.
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung stellt eine nichtlineare Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung dar. Sie lautet:
![i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\vec\nabla^2+V(\vec r,t)+g|\psi|^2\right]\psi](/w/images/math/d/a/8/da85af2000f39339d0e3a82bf3b11529.png)
Dabei ist die makroskopische Wellenfunktion 
der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter g beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend (g<0) oder abstoßend (g>0) ist. Für g=0 entfällt der nichtlineare Wechselwirkungsterm und man erhält die Schrödinger-Gleichung.
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten, Supraleitern und Supraflüssigkeiten. Sie beinhaltet unter anderem solitäre Lösungen (nichtlineare Wellen) und Vortices (quantisierte Wirbel). Sie beinhaltet eine Molekularfeldnäherung.
Berücksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen (Ladung q, Vektorpotential 
), so muss man den Impulsoperatur ersetzen (
). In diesem Fall wird aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung die Ginzburg-Landau-Gleichung.
Energie und Dispersion
Die Energiedichte eines Systems das durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben wird, ist gegeben durch:
![\epsilon\left[\psi\right]=\frac{\hbar^2}{2m}|\vec\nabla\psi|^2+V|\psi|^2+\frac{1}{2}g|\psi|^4](/w/images/math/4/6/a/46acb9ffad188d875dde6d75a8ed265a.png)
Die Dispersionsrelation lautet:
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