Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Gradientenfeld

Aus Kefk.

Ein Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, das der Gradient einer „Stammfunktion“ (dem Potential) sein kann.

Anders ausgedrückt: Das Vektorfeld F ist ein Gradientenfeld genau dann, wenn es ein Skalarfeld G gibt mit F = grad G. G heißt in diesem Fall Potential. In der Physik finden Potentiale und deren Felder häufige Anwendung. Gradientenfelder zeichnen sich durch folgenden Eigenschaften aus:

Linienintegrale sind wegunabhängig, nur die Anfangs- und Endposition sind relevant.
Daraus folgt, dass alle geschlossenen Kurvenintegrale verschwinden.
Gradientenfelder sind rotationsfrei.

Kriterien

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^2$ offene Menge und $F: U \to \mathbb{R}^2$ stetig differenzierbar, dann ist F nach dem Satz von Schwarz genau dann ein Gradientenfeld, wenn gilt: $\frac{\partial F_1}{\partial x_2} = \frac{\partial F_2}{\partial x_1}$

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ offene und sternförmige Menge und $F: U \to \mathbb{R}^n$ stetig differenzierbar, so ist F genau dann ein Gradientenfeld, wenn gilt: $\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} (x) \quad \forall x \in U,\ \forall\, i,j \in \{1 \dots n \}$

Außerdem gilt: F ist Gradientenfeld auf U $\Leftrightarrow$ F ist konservatives Vektorfeld auf U $\Leftrightarrow$ Das Kurvenintegral ist in U wegunabhängig $\Leftrightarrow\operatorname{Rot}(F)=0$

Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Gradientenfeld, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

Von „http://www.kefk.org/wiki/Gradientenfeld“

Kategorien: Analysis | Wikipedia