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Gleichsetzungsverfahren

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Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren, das zur Lösung von Gleichungssystemen genutzt werden kann. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Wie der Name schon verrät, werden mit Hilfe des Verfahrens Gleichungen gleichgesetzt. Dies geschieht so, dass zwei Gleichungen nach einer Variablen oder einem Term umgestellt werden und dann gleichgesetzt werden, sodass dieser Term "rausfliegt".

Beispiel

$\begin{matrix} (1) & x + y & = & 3 \\ (2) & x * y & = & 2 \end{matrix}$

Diese Gleichungen stellt man jetzt nach einer Variablen um, hier sei exemplarisch $x$ umgestellt worden. So erhält man folgende Gleichungen:

$\begin{matrix} (1') & x & = & 3 - y \\ (2') & x & = & 2 / y \end{matrix}$

Da diese Gleichungen vom Wert her identisch sind, setzt man diese nun gleich und löst die neuentstandene Gleichung, sodass die Lösung einer Variablen einer Konstanten entspricht:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} 3 - y &= 2/y &|& * y \\ y ( 3 - y ) &= 2 &|& \text{Klammer aufloesen.} \\ 3y - y^2 &= 2 &|& - 3y \\ - y^2 &= 2 - 3y &|& + y^2 \\ 0 &= y^2 - 3y +2 &|& \text{Quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \text{loesen.} \\ y_1 &= 1 & &\\ y_2 &= 2 & & \end{align}

Hierbei erhält man zwei Lösungen, was darauf hinweist, dass das System zwei Lösungen hat. Diese Lösungen setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (bzw. deren umgestellte Variante) ein und erhält jeweils die Variable x dazu.

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} y_1: & x_1 &=& 3 - y_1 \\ & x_1 &=& 3 - 1 \\ & x_1 &=& 2 \\ y_2: & x_2 &=& 3 - y_2 \\ & x_2 &=& 3 - 2 \\ & x_2 &=& 1 \\ \end{align}

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen:

$\mathbb{L} = \{(1\,|\,2), (2\,|\,1)\}$