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Ginzburg-Landau-Theorie

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Die Ginzburg-Landau-Theorie (nach Lew Dawidowitsch Landau und Witali Lasarewitsch Ginsburg) ist eine Theorie zur Beschreibung der Supraleitung. Im Gegensatz zur BCS-Theorie, die eine Erklärung auf mikroskopischer Basis anstrebt, untersucht sie die makroskopischen Eigenschaften von Supraleitern mit Hilfe von allgemeingültigen thermodynamischen Argumenten.

Aufbauend auf Landaus Theorie der Phasenübergänge zweiter Ordnung argumentierten Landau und Ginzburg, dass die freie Energie F eines Supraleiters nahe dem Phasenübergang durch einen komplexen Ordnungsparameter ψ ausgedrückt werden kann. Dieser beschreibt, inwieweit sich das System im supraleitenden Zustand befindet. ψ = 0 entspricht dem Normalzustand. Die freie Energie lautet dann

F = F_n + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m} \left| \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - 2e\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{|\mathbf{H}|^2}{2\mu_0}

wobei Fn die freie Energie im Normalzustand bezeichnet, α und β sind phänomenologische Parameter, A ist das Vektorpotential und H das Magnetfeld. Die Minimierung der freien Energie hinsichtlich der Schwankungen des Ordnungsparameters und des Vektorpotentials führt auf die Ginzburg-Landau-Gleichungen

\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - 2e\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0
\mathbf{J} = \frac{2e}{m}\left( \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - 2e \mathbf{A} \right) \psi \right)

dabei bezeichnet J den Strom. Die erste Gleichung weist interessante Ähnlichkeiten zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung auf. Sie bestimmt den Ordnungsparameter ψ als Funktion des angelegten Magnetfelds. Die zweite Gleichung liefert dann den Suprastrom.

Aus den Ginzburg-Landau-Gleichungen lassen sich viele interessante Ergebnisse ableiten. Das vermutlich bedeutendste ist die Existenz von zwei charakteristischen Längen in Supraleitern. Die erste ist die Kohärenzlänge ξ,

\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m |\alpha|}} .

Diese beschreibt die Größe der thermodynamischen Fluktuationen in der supraleitenden Phase. Die zweite ist die Eindringtiefe λ,

\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0^2}}

wobei ψ0 den Ordnungsparameter im Gleichgewicht, ohne elektromagnetisches Feld, bezeichnet. Die Eindringtiefe gibt die Tiefe wieder, bis zu der ein externes Magnetfeld in den Supraleiter eindringen kann.

Das Verhältnis κ = λ/ξ wird auch als Ginzburg-Landau-Parameter bezeichnet. Abhängig von der Größe dieses Parameters lassen sich Supraleiter in zwei Klassen mit unterschiedlichen physikalischen Eigenschaften einteilen. Typ I-Supraleiter sind solche mit \kappa < 1/\sqrt 2 = 0,707 \dots . Ist \kappa > 1/\sqrt 2 = 0,707 \dots , so ist der Supraleiter vom Typ II. Dieses Ergebnis lässt sich mittels einer dualen Ginzburg-Landau-Theorie für Supraleiter herleiten (siehe Kapitel 13 des dritten Buchs). Es handelt sich in beiden Fällen um einen Phasenübergang zweiter Ordnung.

Ein weiteres wichtiges Ergebnis der Ginzburg-Landau-Theorie wurde durch Alexei Abrikosov 1957 gefunden. In einem Typ II-Supraleiter in einem hohen Magnetfeld dringt das Feld in Form von Kanälen mit quantisiertem Fluss ein. Diese sogenannten Flussfäden oder Flussschläuche (en:vortex) bilden ein - oft hexagonales - (Abrikosov-)Gitter.

Diese Theorie ergibt sich als Skalierungsgrenzwert (en:scaling limit) des XY-Modells.

Ausgewählte Veröffentlichungen

  • V.L. Ginzburg und L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950)
  • A.A. Ginzburg, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32, 1442 (1957)
  • L.P. Gor'kov, Sov. Phys. JETP 36, 1364 (1959)

Bücher

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