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Geordnetes Paar

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Ein geordnetes Paar oder 2-Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung zweier Objekte (im Gegensatz zur ungeordneten Zusammenstellung, der Paarmenge). Von den beiden Objekten, die zu einem geordneten Paar zusammengefasst sind, ist eines der beiden ausgezeichnet (hervorgehoben). Das ausgezeichnete Objekt wird oft vordere Komponente, das nicht ausgezeichnete Objekt hintere Komponente des geordneten Paars genannt. Auch spricht man von linker bzw. rechter oder erster bzw. zweiter Komponente.

Zum Notieren eines geordneten Paars ist es üblich, seine beiden Einträge, durch ein Komma getrennt, hintereinander zu schreiben, den vorderen links, und das Ganze in Klammern zu setzen:

(a,b)\quad[a,b ]\quad\langle a,b \rangle

Welche Klammernart dabei verwendet wird, ist im jeweiligen mathematischen Kontext festgelegt. Wenn nichts Besonderes gesagt ist, schreiben viele Mathematiker runde Klammern. Ausgeschlossen sind jedoch geschweifte, denn diese sind generell für explizite Mengenangaben reserviert.

Grundlegende Eigenschaften

Zwei Paare (a,b) und (c,d) sind genau dann gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, also a = c und b = d (allgemeinere Erläuterung siehe unter Tupel). Sofern a und b verschieden sind, gilt also (a,b)\neq(b,a).

Formale Definition

Üblich sind zwei mengentheoretische Definitionen des geordneten Paars: \lbrace a\,,\lbrace a\,,\,b\rbrace\rbrace und \lbrace\lbrace a\rbrace\,,\lbrace a\,,\,b\rbrace\rbrace, wobei \,a die vordere Komponente ist. Letztere Definition geht auf Kuratowski zurück.

Die Definitionen sind dadurch gerechtfertigt, dass in der Tat \lbrace a\,,\lbrace a\,,\,b\rbrace\rbrace = \lbrace c\,,\lbrace c\,,\,d\rbrace\rbrace bzw. \lbrace\lbrace a\rbrace\,,\lbrace a\,,\,b\rbrace\rbrace = \lbrace\lbrace c\rbrace\,,\lbrace c\,,\,d\rbrace\rbrace genau dann gilt, wenn a = c und b = d. Auch lässt sich beispielsweise aus \lbrace a\,,\lbrace a\,,\,b\rbrace\rbrace die vordere Komponente a als dasjenige von zwei Elementen zurückgewinnen, das Element des anderen ist.

Wikipedia
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