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Geometrische Reihe

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Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer geometrischen Folge sind.

Inhaltsverzeichnis

Berechnung einer Geometrischen Reihe

Es seien ak die Glieder einer geometrischen Folge. Es gilt also a_k = a_0 \cdot q^k, wobei a0 das Anfangsglied und q das Verhältnis zweier benachbarter Glieder ist. Das n-te Glied sn der zu dieser geometrischen Folge gehörigen geometrischen Reihe erhält man nun durch die Bildung der Partialsummen:

s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 \cdot q^k

Die Partialsummen lassen sich auch direkt folgendermaßen berechnen (Herleitung siehe unten):

s_n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} für q\neq 1 und s_n = (n+1) \cdot a_0 für q = 1.

Diese Formeln gelten nicht nur, wenn die {ak}k = 0,1,... reelle Zahlen sind, sondern auch allgemeiner, wenn die Folgenglieder Elemente eines Ringes sind. Auch in letzterem Fall muss q − 1 invertierbar sein.

Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots

mit a0=5 und q=3. Die zugehörige geometrische Reihe ergibt sich zu

s_0=5=5\frac{3^1-1}{3-1}
s_1=5+15=20=5\frac{3^2-1}{3-1}
s_2=5+15+45 =65=5\frac{3^3-1}{3-1}
s_3=5+15+45+135 =200=5\frac{3^4-1}{3-1}

usw.

Anwendungsbeispiel

Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2.000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5% [d.h. Faktor ist: (100+5)/100 = 1,05]. Wieviel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2.000 · 1,055 €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann ein angesparter Betrag von

2.000 \cdot 1,05^5 + 2.000 \cdot 1{,}05^4 + 2.000 \cdot 1{,}05^3 + 2.000 \cdot 1{,}05^2 + 2.000 \cdot 1{,}05^1
= 2.000 \cdot 1{,}05 \cdot ( 1{,}05^4 + 1{,}05^3 + 1{,}05^2 + 1{,}05^1 + 1{,}05^0)
= 2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \sum_{k=0}^{4} 1{,}05^k
= 2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}
= 2.000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^5-1}{0{,}05}
= 11.603{,}80\,

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1.603,80 € erhöht. Zum Vergleich: Würde man 10.000 € über 5 Jahre bei 5% Zinsen anlegen, so wäre der Endbetrag

10.000 \cdot 1,05^5
= 12762{,}80\,

(also ein Gewinn von 2.762,80 €)

Konvergenz der unendlichen Reihe

Eine (unendliche) geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl q kleiner als 1 ist. Der Wert der Reihe ergibt sich aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen durch Grenzwertbildung ( n \to \infty ) zu

\sum_{k=0}^{\infty} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = a_0\frac{1}{1-q}

für | q | < 1.

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von q kleiner als 1 ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

s_n = \sum_{k=0}^n a \cdot q^k = a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \dots + a q^n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n)

Vereinfacht:

s_n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n) (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit q ergibt sich:

q \cdot s_n = a (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1}) (Gleichung 2)

Wenn man beide voneinander subtrahiert (Gleichung 1 − 2) erhält man:

s_n - q \cdot s_n = a (1 - q^{n+1})

Ausklammern von sn:

s_n (1-q) = a (1 - q^{n+1}) \

Teilen durch (1-q):

s_n = {{a (1 - q^{n+1})} \over {1 - q}}

(Bezug zur Formel im ersten Teil: Setze a0 = a in der obigen Darstellung für sn ein und erweitere für die zweite Gleichung den Bruch mit -1; dann ergibt sich dasselbe Resultat)

Davon wird nun der Grenzwert gebildet:

Für | q | < 1 geht q mit steigender Potenz gegen 0 und die geometrische Reihe konvergiert. Ist dagegen |q|\ge1 so divergiert sie.

In ersterem Fall ist also

\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \sum_{k=0}^\infty a q^k = \lim_{k \to \infty} a{{ (1 - q^{k+1})} \over {1 - q}} = a{{ (1 - 0)} \over {1 - q}} = a \cdot {1 \over {1 - q}}

Siehe auch

Von „http://www.kefk.org/wiki/Geometrische_Reihe“
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