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Geodätische Krümmung

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Die geodätische Krümmung ist ein Begriff aus der Klassischen Differentialgeometrie. Es gibt eine anschauliche geometrische Interpretation: Wir betrachten dazu eine Kurve auf einer regulären Fläche. Wenn wir nun die Kurve in die Tangentialebene projizieren, dann ist die geodätische Krümmung gerade die Krümmung unserer projizierten Kurve.

Definition

Seien S eine orientierbare Fläche mit dem Normaleneinheitsvektor \vec N und \vec x(s) eine nach der Bogenlänge s parametrisierte reguläre Kurve auf S. Dann heißt die Determinante

\kappa_g = (\frac{\mathrm{d}^2\vec x}{\mathrm{d}s^2}, \vec N(\vec x), \frac{\mathrm{d}\vec x}{\mathrm{d}s})

die geodätische Krümmung von \vec x(s) bezüglich S.

Bemerkungen

  • Es ist \frac{\mathrm{d}^2\vec x}{\mathrm{d}s^2} = \kappa \vec n mit dem Hauptnormalenvektor \vec n und der Krümmung κ. (Hier wird \vec x(s)\in \mathbb{R}^3 als Raumkurve betrachtet.) Bezeichnet ψ den Winkel zwischen \vec N und \vec n, so können wir schreiben
\frac{\mathrm{d}^2\vec x}{\mathrm{d}s^2} = \kappa (\vec N\cos\psi + \vec T\sin\psi),
wobei \vec T so gewählt ist, dass (\vec T, \vec N, \frac{d\vec x}{ds}) ein Orthonormalsystem bildet. Es folgt
\kappa_g = \pm \, \kappa\sin\psi.
Die ergänzende Komponente κn: = κcosψ heißt Normalkrümmung von \vec x(s) bezüglich S.
  • Eine Kurve ist Geodäte genau dann, wenn ihre geodätische Krümmung verschwindet.
  • Der Wert von \kappa_g\, ist vorzeichenbehaftet. Kehrt man die Orientierung von S oder den Durchlaufsinn von \vec x(s) um, so wechselt \kappa_g\, das Vorzeichen.
  • Die geodätische Krümmung ist eine Größe der inneren Geometrie von Flächen, d.h. sie hängt lediglich von der ersten Fundamentalform und deren Ableitungen ab. Eine Formel lautet:
\kappa_g = \frac{\dot u^le_{lk}(\ddot u^k + \Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j)}{\sqrt{g_{pq}\dot u^p\dot u^q}^3}
mit der Parametrisierung u = u(t) = (u1(t),u2(t)) der Kurve, den Koeffizienten der ersten Fundamentalform gij und deren Christoffelsymbolen \Gamma^k_{ij} sowie dem orientierten Oberflächenelement eij = (N,Xi,Xj) der Fläche.
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