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Generalisierte Koordinate

Aus Kefk.

Die generalisierten Koordinaten sind ein Begriff aus der theoretischen Physik im Zusammenhang mit dem Hamilton- und dem Lagrange-Formalismus. Sie dienen der Beschreibung verallgemeinerter Bewegungsgleichungen.

Ausnutzung von Symmetrien

Generalisierte Koordinaten sind insbesondere bei der Beschreibung von Bewegungen hilfreich, die eine besondere Symmetrie aufweisen oder/und Zwangsbedingungen unterliegen. Geeignete generalisierte Koordinaten können den Aufwand zur Problemlösung immens reduzieren. Als anschauliches Beispiel sei die Bewegung eines Punktes auf einer Kugeloberfläche als Zwangsbedingung genannt: hier eignen sich zur Beschreibung räumliche Polarkoordinaten $(\rho,\vartheta,\varphi)$ (s.u.) wesentlich besser als kartesischen Koordinaten $\big (x,y,z)$ :

Die Koordinate $ρ$ ist konstant
Die verbleibenden beiden Koordinaten $\vartheta$ und $\varphi$ sind unabhängig voneinander

Das Polarkoordinatensystem erlaubt also eine elegantere Darstellung durch nur zwei voneinander unabhängige Koordinaten.

Beispiele

kartesische Koordinaten

So hat man im 3D-Raum zunächst einmal die normalen kartesischen Koordinaten: $\big (x,y,z)$

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$

Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten

Durch Einführen eines Abstandes $ρ$ zum Nullpunkt und eines Winkels $\varphi$ zur x-Achse erhält man für $z = 0$ Polarkoordinaten

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ 0 \end{pmatrix}$

und für $z \ne 0$ Zylinderkoordinaten

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ z \end{pmatrix}$

Führt man hingegen zusätzlich zu $\varphi$ einen zweiten Winkel $\vartheta$ zur z-Achse ein, so erhält man Kugelkoordinaten mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \sin \vartheta \cos \varphi \\ \rho \sin \vartheta \sin \varphi \\ \rho \cos \vartheta \end{pmatrix}$

$\rho , \varphi , z , \vartheta$ entsprechen dabei den generalisierten Koordinaten und könnten stattdessen genausogut mit $q_1,\dots,q_n$ bezeichnet werden, wie es in Lehrbüchern zur theoretischen Mechanik gebräuchlich ist.

Einheitsvektoren

Es kann manchmal hilfreich sein, Einheitsvektoren in generalisierten Koordinaten zu finden. Hier gilt allgemein:

Einheitsvektor: $\vec e_{q_i} = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial q_i}}{\left \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\right \vert }$

Beispiel: Finde Einheitsvektor in Kugelkoordinaten in Richtung $\vartheta$

$\vec r = \begin{pmatrix} \rho \sin \vartheta \cos \varphi \\ \rho \sin \vartheta \sin \varphi \\ \rho \cos \vartheta \end{pmatrix}$

$\frac{\partial \vec r }{\partial \vartheta } = \begin{pmatrix} \rho \cos \vartheta \cos \varphi \\ \rho \cos \vartheta \sin \varphi \\ -\rho \sin \vartheta \end{pmatrix}$

$\left \vert \frac{\partial \vec r }{\partial \vartheta }\right \vert = \sqrt{\rho^2 \cos^2 \vartheta \cos^2 \varphi + \rho^2 \cos^2 \vartheta \sin^2 \varphi + (-\rho )^2 \sin^2 \vartheta } =$