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Die gaußschen Zahlen (nach Carl Friedrich Gauß) sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Sie werden mit (siehe Adjunktion (Algebra)) bezeichnet. Eine andere Verallgemeinerung sind die Eisenstein-Zahlen. Die gaußschen Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers . Sie treten beispielsweise bei der Formulierung des biquadratischen Reziprozitätsgesetzes auf.

Definition

Eine gaußsche Zahl g ist durch

• g = a + bi

gegeben, wobei a und b ganze Zahlen sind. Die gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der gaußschen Zahlenebene.

Bedeutung

Mit den gaußschen Zahlen lässt sich Zahlentheorie studieren. Im Besonderen lassen sich Primelemente als Verallgemeinerung des Begriffes Primzahl definieren. Die Eindeutigkeit der Primfaktordarstellung gilt dann auch für die gaußschen Zahlen.

Die Primelemente im Ring der gaußschen Zahlen zerfallen in drei Klassen (jeweils bis auf Multiplikation mit − 1, i und − i, den Einheiten des Ringes der gaußschen Zahlen):

• Der doppelte Primfaktor von 2: Die Zahl 2 ist das Produkt der Primelemente 1 + i und 1 − i, die sich aber nur um eine Einheit unterscheiden (2 ist verzweigt):

Also ist

die Primfaktorzerlegung der Zahl 2 im Ring der gaußschen Zahlen.

• Faktoren von Primzahlen der Form 4k + 1: Ist p eine Primzahl, die die Form p = 4k + 1 mit einer ganzen Zahl k hat, so kann man zeigen, dass sich p auf im wesentlichen eindeutige Weise als Summe zweier Quadratzahlen schreiben lässt:

p = a² + b² mit gewissen

Dann ist

p = (a + bi)(a − bi)

die Primfaktorzerlegung von p, p selbst ist also kein Primelement im Ring der gaußschen Zahlen, sondern Produkt von zwei zueinander konjugierten Primelementen (p ist zerlegt). Beispielsweise ist 5 = (2 + i)(2 − i) keine Primzahl, aber 2 + i und 2 − i sind zwei Primelemente.

• Primzahlen der Form 4k + 3: Ist p eine Primzahl der Form 4k + 3 mit einer ganzen Zahl k, so ist p auch im Ring der gaußschen Zahlen ein Primelement (p bleibt prim; es ist träge).

Das folgende Bild des Spektrums von veranschaulicht diese Zusammenhänge: Die Kleckse entsprechen den Primelementen im Ring der gaußschen Zahlen, die in der Faktorisierung der jeweils unten angegebenen Primzahl auftauchen.

Bild:Spec Zi.png

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