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Gaußklammer

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Die Gauß-Klammer wird auch als Ganzzahl-Funktion oder Abrundungsfunktion bezeichnet (engl. floor function). Sie wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt und man schreibt \operatorname{floor}(x) oder \lfloor x \rfloor, manchmal wird auch einfach \left[ x \right] verwendet.

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lfloor x \rfloor die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
\lfloor x \rfloor:=\max_{k\in\Z, k\leq x}(k)

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

  • \lfloor 2{,}8 \rfloor = 2
  • \lfloor -2{,}8 \rfloor = -3
Das Ergebnis ist nicht, wie vielleicht vermutet, − 2, da definitionsgemäß gelten muss: \lfloor a \rfloor \le a und − 2 dieser Definition nicht gerecht wird.
  • \lfloor 2 \rfloor = 2

Es gilt immer

\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1

Dabei ist \lfloor x \rfloor = x genau dann, wenn x eine ganze Zahl ist. Für jede ganze Zahl k und jede reelle Zahl x gilt

\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k

Die Ganzzahl-Funktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.

Aufrundungsfunktion

Eine eng verwandte Funktion ist die Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function). Man schreibt diese Funktion als \operatorname{ceil}(x) oder \lceil x \rceil. Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lceil x \rceil die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist.
\lceil x \rceil:=\min_{k\in\Z, k\ge x}(k)

Beispiele

  • \lceil 2{,}8 \rceil = 3
  • \lceil -2{,}8 \rceil = -2
  • \lceil 2 \rceil = 2

Sonstige Eigenschaften

Es ist stets

\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0

Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

\sum_{j=1}^{n-1} \left \lfloor \frac{jm}{n} \right \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}

Für \lfloor \frac{x}{a} \rfloor= \lfloor \frac{x}{a+1} \rfloor gibt es \frac{a(a+1)}{2} Lösungen mit a\in\N, a>0 und x\in\N.

Gewöhnliche Rundung

Die gewöhnliche Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl erreicht man mit \lfloor x + 0{,}5\rfloor .

Wikipedia
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