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Die Gauß-Weingarten-Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen aus der Differentialgeometrie. Sie vermitteln einen Zusammenhang zwischen den Tangentialvektoren X₁,X₂, der Einheitsnormalen einer differentialgeometrisch regulären Fläche und den Koeffizienten der Matrix der ersten bzw. der zweiten Fundamentalform bezüglich einer (lokalen) Parametrisierung dieser Fläche.

Gleichungen

Die Gleichungen lauten:

Wenn wir beachten, dass bei einer differentialgeometrisch regulären Fläche die Vektoren X₁,X₂,N linear unabhängig sind, dann können wir die ersten Ableitungen dieses Dreibeins als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Eine Bestimmung der Koeffizienten liefert dann die Gauß-Weingarten-Gleichungen. Dabei sind die die Christoffelsymbole der Koeffizienten der Matrix der ersten Fundamentalform g_ij mit den Koeffizienten der inversen Matrix g^kl und l_ij die Koeffizienten der Matrix der zweiten Fundamentalform.

Integrationsbedingungen

Es stellt sich die Frage, inwiefern eine differentialgeometrisch reguläre Fläche durch Angabe der ersten und zweiten Fundamentalform (eindeutig) bestimmt ist. Wenn man gemischte zweite Ableitungen des Dreibeins berechnet, stellt man fest, dass die Koeffizienten der ersten und zweiten Fundamentalform nicht völlig unabhängig voneinander gewählt werden können. Es gelten die notwendigen Integrationsbedingungen in Form der Codazzi-Mainardi-Gleichungen und der Formel von Brioschi. Man stellt fest, dass die notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind. Es gilt nämlich der Fundamentalsatz der Flächentheorie:

Die Koeffizienten der Matrix der ersten und zweiten Fundemantalform genügen den Codazzi-Mainardi-Gleichungen und der Formel von Brioschi. Dann gibt es eine, bis auf Translationen und Drehungen, eindeutig bestimmte Fläche, welche gerade die vorgeschriebene erste und zweite Fundamentalform hat.

Die Gauß-Weingarten-Gleichungen stellen gerade die Verallgemeinerung der Frenetschen Formeln für Flächen im dreidimensionalen Raum dar.

Verallgemeinerungen

Die ursprüngliche Version der Gauß-Weingarten-Gleichungen gilt nur für zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten im dreidimensionalen Raum. Man kann die Gleichungen ohne weitere Probleme auch für allgemeine differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Kodimension 1, das heißt für Hyperflächen hinschreiben. Dazu ergänzt man punktweise eine Basis des Tangentialbündels durch einen Einheitsnormalenvektor und erhält damit eine Basis des n-dimensionalen Raumes. Mit der analogen Methode stellen sich dann die Gauß-Weingarten-Gleichungen für diese Mannigfaltigkeiten dar.

Auch in höheren Codimensionen k gibt es geeignete Verallgemeinerungen. Dazu ergänzen man wieder eine Basis eines Tangentialbündels durch entsprechend k Einheitsnormalenvektoren N₁,...,N_k. Diese müssen allerdings so gewählt werden, dass sie auch differenzierbar sind. Es ist aber auch notwendig, die zweite Fundamentalform zu verallgemeinern. Es sei:

Damit folgen zunächst die Gleichungen:

Für den zweiten Teil der Gauß-Weingarten-Gleichungen werden noch weitere invariante Größen benötigt:

Hierbei bezeichnet der erste Index den ersten bis k − ten Normalenvektor und der zweite Index die Differentiation nach der i − ten Unbekannten. Diese Größen sind vergleichbar mit der Windung von Kurven. Dann erhält man für den zweiten Teil der Gauß-Weingarten-Gleichungen:

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