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Gaußsche Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (\mathbb{R}^3), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung, benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im \mathbb{R}^3 und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung K der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k1 und k2.

  • K \, = \, k_1 k_2

Da k1 und k2 verschiedene Vorzeichen haben können, sind auch negative Werte für K möglich, nämlich bei sattelartig gekrümmten Flächen.

Beispiele

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die Gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 / r2.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die Gaußsche Krümmung gleich 0.
  • Sei X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der u − v Ebene. Dann berechnet sich die Gaußsche Krümmung durch die Formel:

K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}.

Eigenschaften

K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}

  • Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:
  • Formel von Brioschi:
K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left( \left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{pmatrix}\right| - \left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\ \frac{1}{2}E_v & E & F\\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{pmatrix}\right| \right)
Dabei sind E, F und G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen Eu, Fuv usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u und v, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.
  • Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt 0 < E = G und F = 0, dann schreibt sich
K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E
mit dem Laplaceoperator
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}.

Bemerkung

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