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Beugungsintegral

Aus Kefk.

Das Beugungsintegral ermöglicht es in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, die die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt, die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet.

Zwei Grenzfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.

Die obige Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle Q, einer Blende, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z.B. Beugungsscheibchen und Klotoide.

Inhaltsverzeichnis

1 Das Kirchhoffsche Beugungsintegral
2 Fraunhofer- und Fresnel-Beugung
- 2.1 Fraunhofer-Näherung
- 2.2 Fresnel-Näherung
3 Herleitung des Beugungsintegrals durch Proportionalitätsbetrachtungen

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral, auch Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet:

$\psi_P={a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}\int_{Blende}dS\,f_S\,{e^{i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}\left[{\cos\theta+\cos\tilde{\theta}\over 2}\right]$ .

Dabei bezeichnen $a Q$ die Amplitude der Quelle, $k 0 = 2π / λ$ den Wellenvektor, $λ$ entsprechend die Wellenlänge des Lichtes und schließlich $f S$ die Blendenfunktion.

Die Intensität am Punkt P auf dem Beobachtungsschirm ergibt sich als Betragsquadrat von $ψ P$ :

$I(P)=| \psi_P |^2={a_Q^2\,k_0^2\over 4\pi^2 }\left|\int_{Blende}dS\,f_S\,{e^{i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}\left[{\cos\theta+\cos\tilde{\theta}\over 2}\right]\right|^2$ .

Der Term $(\cos\theta+\cos\tilde{\theta})/ 2$ wird Neigungsfaktor genannt und kann in den meisten Anwendungen näherungsweise gleich 1 gesetzt werden.

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung

Für die Lichtwege $d$ und $d 1$ gelten die folgenden geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze):

$d=\sqrt{L^2+|\vec{r}-\vec{p}|^2}$ und

$d_1=\sqrt{L_1^2+r^2}$ .

Unter den Annahmen $L_1\gg|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2}$ und $L\gg|\vec{p}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$ können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass $\theta\approx\tilde{\theta}\approx 0$ , d.h. für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral:

$\psi_P={a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}\int_{Blende}dS\,f_S\,{e^{i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}$ .

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner $d\cdot d_1\approx L_1\,L$ gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt:

$\psi_P={a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}{1\over L_1\,L} \int_{Blende}dS\,f_S\,e^{i\,k_0(d+d_1)}$ .

Die Näherung für die Ausdrücke $d$ und $d 1$ , explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt:

$d=\sqrt{L^2+|\vec{r}-\vec{p}|^2}\approx L\left( 1+{|\vec{r}-\vec{p}|^2\over 2L^2}+... \right)= L\left( 1+{r^2+p^2-2\vec{r}\cdot\vec{p}\over 2L^2}+... \right)$ sowie

$d_1=\sqrt{L_1^2+r^2}\approx L_1\left( 1+{r^2\over 2 L_1^2}+... \right)$

Ausgedrückt durch die Koordinaten $(x,\,y)$ und $(x',\,y')$ ergibt das:

$d\approx L\left( 1+{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2}+... \right)$ und

$d_1\approx L_1\left( 1+{x^2+y^2\over 2 L_1^2}+... \right)$

Fraunhofer-Näherung

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass sowohl die Blendenöffnung als klein als auch die Entfernung des Beobachtungsschirms $L$ als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung gelegentlich auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend dieser Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in $x$ und $y$ sind, das heißt:

$d\approx L\left( 1+{x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right)= L\left( 1+{p^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right)$

$d_1\approx L_1$

In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu:

$\psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}{e^{i\,k_0(L_1+L+{p^2\over 2L})}\over L_1\,L}\int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{-i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}}$ .

Definiert man einen neuen Wellenvektor $\vec{K}= {k_0\over L}\vec{p}$ , so ergibt sich für das Integral:

$\int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{-i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}} =\int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{-i\,{k_0\over L}\vec{p}\cdot\vec{r}}$ $=\int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{-i\,\vec{K}\cdot\vec{r}}$

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion $f_S\,(x,y)$ !

Fresnel-Näherung

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. Hier werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das Beugungsintegral hat dann nicht mehr die einfache Form einer Fourier-Transformierten und ist i.A. nur numerisch lösbar.

Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in $x$ und $y$ ergibt sich:

$d\approx L\left( 1+{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2}+... \right)$

$d_1\approx L_1\left( 1+{x^2+y^2\over 2 L_1^2}+... \right)$

In diesem Fall lautet das Beugungsintegral:

$\psi_P={a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}{ e^{ i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{i\,k_0({x^2+y^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L}+{x^2+y^2\over 2 L_1})}$ .

Einführung von $L'$ mit ${1\over L'}={1\over L}+{1\over L_1}$ und $\vec{K}= {k_0\over L}\vec{p}$ ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung:

$\psi_P={a_Q\,k_0\over 2\pi\,i}{ e^{ i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \int\int_{Blende}dx\,dy\,f_S(x,y)\,e^{i\,k_0{x^2+y^2\over 2L'}}e^{-i\,\vec{K}\cdot\vec{r}}$ .

Herleitung des Beugungsintegrals durch Proportionalitätsbetrachtungen

Aus der Quelle Q bei $\vec{r}_Q$ tritt die Kugelwelle $ψ Q$

$\psi_Q(\vec{r},t)=a_Q\, {e^{i(k\,|\vec{r}|-\omega\,t)}\over |\vec{r}|}$

Am Punkt S bei $\vec{r}_S$ trifft die anfängliche Welle $ψ Q$ mit der (zeitabhängigen) Intensität $ψ 1$ auf der Blende auf:

$\psi_1(t)=\psi_Q(d_1,t)=a_Q\,{e^{i(k\,d_1-\omega\,t)}\over d_1}= a_Q\,{e^{i\,k\,d_1}\over d_1}e^{-i\,\omega\,t}$ .

Nach dem Huygensschen Prinzip ist der Punkt S Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle $ψ S$ . Diese Sekundärwelle $ψ S$ hat dann die (zeitabhängige) Amplitude $a S$ :

$a_S(t)\sim f_S\,\psi_1(t)\,dS$ .

Dabei stellt das infinitesimale Flächenelement dS die Fläche der Blendenöffnung am Punkt S dar (später muss über alle möglichen Punkte S der Blende aufsummiert werden). $f S$ ist dabei die Blendenfunktion, die die Durchlässigkeit der Blende beschreibt. Im einfachsten Fall gilt $f S = 1$ , wenn die Blende geöffnet ist, und $f S = 0$ , wenn die Blende geschlossen ist.

Die vom Punkt S ausgehende Sekundärwelle $ψ S$ ist eine Kugelwelle (analog zur ersten Gleichung) und erzeugt im Punkt P bei $\vec{r}_P$ auf dem Beobachtungsschirm die Wellenintensität $d ψ P$ :

$d\psi_P(t)\sim a_S(t)\,{e^{i\,k\,d}\over d}=f_S\,\psi_1(t)\,{e^{i\,k\,d}\over d}dS$ .

Einsetzung für $ψ 1$ unter Vernachlässigung der für die Intensitätsverteilung irrelevanten (weil sich im Betragsquadrat weghebenden) Zeitabhängigkeit $e^{-i\,\omega\,t}$ ergibt:

$d\psi_P\sim a_Q\,f_S\,{e^{i\,k(d+d_1)}\over d\cdot d_1}dS$ .

Da jedoch nicht nur die Elementarwelle vom Punkt S eine Intensität im Beobachtunspunkt P erzeugt, müssen die Beiträge aller Blendenpunkte aufsummiert werden:

$\psi_P\sim a_Q\int_{Blende}dS\,f_S\,{e^{i\,k(d+d_1)}\over d\cdot d_1}$