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Formelsammlung Algebra

Aus Kefk.

Dies ist eine Formelsammlung zum Thema Algebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, welche in der Tabelle mathematischer Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundrechenarten
2 Arithmetische Notation
3 Axiome
4 Elementare Funktionen
- 4.1 Potenzen
- 4.2 Wurzeln
- 4.3 Logarithmus
5 Gesetze der Anordnung
6 Betrag, Signum, Gaußklammer
7 Termumformungen
8 Grundlegende Funktionen
9 Lineare Gleichungssysteme
10 Quadratische Gleichungen
11 Gleichungen n-ten Grades
12 Polynome n-ten Grades
13 Polynomdivision
14 Horner-Schema
15 Mittelwerte
16 Komplexe Zahlen
- 16.1 Definition
- 16.2 Polarform und Exponentialform
- 16.3 Umrechnungsformeln
- 16.4 Rechenregeln
17 Vollständige Induktion
18 Kombinatorik
- 18.1 Fakultät
- 18.2 Binomialkoeffizient („n über k“)
- 18.3 Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck
19 Stirlingsche Näherungsformel
20 Potenzsummen
21 Endliche Reihen
- 21.1 Rechenregeln
- 21.2 Arithmetische Reihen
- 21.3 Harmonische Reihe
- 21.4 Geometrische Reihe
- 21.5 Reihen mit Binomialkoeffizienten
22 Prozentrechnung
23 Zinsrechnung
- 23.1 Einfache Zinsrechnung:
- 23.2 Zinseszins:
- 23.3 Rentenrechnung
- 23.4 Rentenrechnung (Nachschüssige Rentenzahlungen)
- 23.5 Rentenrechnung (Vorschüssige Rentenzahlungen)
- 23.6 Abschreibung
- 23.7 Sparkassenformel

Grundrechenarten

Siehe dazu: Formelsammlung Grundrechenarten.

Arithmetische Notation

Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung. Das heißt Mal und Geteilt binden stärker als Plus und Minus.

$a + ( b \cdot c ) + d = a + b \cdot c + d$

$( a \cdot b ) + ( c \cdot d ) = a \cdot b + c \cdot d$

$( a + b ) \cdot ( c + d ) \neq a + b \cdot c + d$

Bei Verwendung der Polnischen Notation bzw. der Umgekehrten Polnischen Notation bedarf es keiner Klammerung.

Axiome

Assoziativ-Gesetz

$a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c$

$a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c$

Kommutativ-Gesetz (Vertauschungsgesetz)

$a + b = b + a \,$

$a \cdot b = b \cdot a$

Distributiv-Gesetz

$a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c$ (linksdistributiv)

$\left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (rechtsdistributiv)

Elementare Funktionen

Potenzen

Definition Potenzen

$a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n Faktoren)

formal (induktiv):

$a^n=\begin{cases} 1 & n=0 \\ a\cdot a^{n-1}=\prod\limits^n_{i=1} a & n \ge 1 \end{cases}$

Begriffe zu Potenzen

$\,a^n$ (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz

$\,a$ ist die Basis

$\,n$ ist der Exponent

Potenzen mit gleicher Basis

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

Potenzieren einer Potenz

$({a^x})^y = a^{x \cdot y}$

Potenzen mit gleichem Exponenten

$a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$

$\frac{a^x}{b^x} = \left( \frac{a}{b} \right)^x$

Wurzeln

Begriffe zu Wurzeln

$x = \sqrt[n]{a}$

n ist der Wurzelexponent

a ist der Radikand

Definition Wurzel

$x^n = a \Leftrightarrow x = \sqrt[n]{a} \qquad \left(a \in \mathbb{R},a \geq 0, n \in \mathbb{N^+}\right)$

Negativer Radikand und ungerader Exponent

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\qquad \left(a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N^+}, n=2u-1,u \in \mathbb{N^+}\right)$

Für $n,m \in \mathbb{N};\,n \geq 2;\, a \in \mathbb{R};\, a,\,b>0$ gelten folgende Regeln

$\sqrt[n]{a} = a^{1 \over n}$
$\sqrt[n]{a ^m} = ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^{ m \over n }$
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
${{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}$
$\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}$
${ \sqrt[n]{a} \over \sqrt[m]{a} } = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}$

und die Regeln können auf $n,m\in\mathbb{R}$ erweitert werden.

Logarithmus

Definition des Logarithmus zur Basis b

$x = \log_b a \Leftrightarrow a = b^x$

Logarithmus-Gesetze

$\log_x ( a \cdot b) = \log_x a + \log_x b$
$\log_x \left( {a \over b} \right) = \log_x a - \log_x b$
$\log_x \left( a^b \right) = b \cdot \log_x a$

Basiswechsel

$\log_b a = c \Longleftrightarrow c = {\log_x a \over \log_x b}$

Gesetze der Anordnung

Betrag, Signum, Gaußklammer

Betrag:

$|x|:= \begin{cases} \;\;\,x & ,\; x>0 \\ \;\;\,0 & ,\; x=0 \\ -x & ,\; x<0 \\ \end{cases}$

Signum:

$\sgn(x):= \begin{cases} \;\;\,1 & ,\; x>0 \\ \;\;\,0 & ,\; x=0 \\ -1 & ,\; x<0 \\ \end{cases}$

Also gilt: $x = \mbox{sign (x)} \cdot |x|$

Termumformungen

8-(2-a+b) Hier ist die "Minusklammer" zu beachten. Minusklammer heißt, dass vor der Klammer ein Minus (-) steht. Somit müssen alle Werte in der Klammer mit (-1) multipliziert werden.

= 8 + ( 2 * (-1) - a * (-1) + b * (-1) ) = 8 - 2 + a - b = 6 + a - b

Grundlegende Funktionen

Quadratische Gleichungen

pq-Formel:

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form

$x^2 + p\cdot x + q = 0$

dann gilt

$x_{1,2}= -{p \over 2} \pm \sqrt{{ \left( {p \over 2} \right) ^2} - q}$

oder

$x_{1,2}= -{p \over 2} \pm \sqrt{{p^2 \over 4} - q}$

Zerlegung in Linearfaktoren: $x^2+p\cdot x+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Nach dem Satz von Vieta gilt: $p=-(x_1+x_2) \qquad q=x_1\cdot x_2$

abc-Formel: (äquivalent zur pq-Formel)(Diskriminante)

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form

$a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$

dann gilt

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot ac}}{2\cdot a}$

Zerlegung in Linearfaktoren: $a\cdot x^2+b\cdot x+c=a\cdot(x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Gleichungen n-ten Grades

Cardanische Formeln Kubische Gleichung

Polynome n-ten Grades

Polynomdivision

Aufspaltung des Quotienten der Polynome $\;p(x)\in \mathrm{P}^n,\ q(x)\neq 0$ wie folgt:

$\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$

Damit $s(x) \neq 0$ ist und damit die Polynomdivision sinnvoll ist, muss für den Grad der Polynome gelten:

$\operatorname{Grad}\ p\ge\operatorname{Grad}\ q$ .

Nun wird $\;p(x)$ schrittweise dividiert ( $\;p_0(x) := p(x)$ ):

$\;s_i(x)$ wird so gewählt, dass $\;(s_i(x) q(x))_n = (p_i(x))_n$ , dass also die Koeffizienten der höchsten in $p$ vorkommenden Potenz gleich sind.
$\;p_{i+1}(x) := p_i(x) - q_i(x) s(x)$
Gilt $\operatorname{Grad}\ q(x) > \operatorname{Grad}\ p_{i+1}(x)$ , so wird abgebrochen.
$i$ wird inkrementiert und die Schleife erneut durchlaufen

Nach Abbruch gilt

$s(x) = \sum_{k=1}^i s_k(x)$
$\;r(x) = p_{i+1}(x)$

Horner-Schema

Mit dem Hornerschema lässt sich die Berechnung von Funktionswerten für ein Polynom vereinfachen. Beispiel:

f (x): = x 2 - 2 x - 8

Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei, die der Spalten um zwei größer als der Grad des Polynoms (für das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten schreibt man, von der zweiten Spalte beginnend, in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden die oberen beiden Zahlen addiert. Der Faktor der zweiten Zeile der nächsten Spalte ergibt sich aus der Multiplikation der voranstehenden Summe mit dem x-Wert. Kurz: Senkrecht wird summiert, schräg wird multipliziert. Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte.

Beispiel für $f ( - 2)$ :

      1  -2  -8
x=-2     -2   8
---------------
      1  -4   0

Sollte der Funktionswert, wie hier, Null sein, sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch $x$ minus den Wert, hier $x - ( - 2)$ : $f (x) = (x - 4)(x + 2)$

Mittelwerte

arithmetisches Mittel von a und b:

${a + b} \over 2$

allgemeiner Ansatz:

$\bar x = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i$

geometrisches Mittel von a und b:

$\sqrt{a \cdot b}$

allgemeiner Ansatz:

$\bar x = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$

Zentralwert

Der Wert, welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht, bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser.

z.B.: 1, 2, 3 -> Zentralwert = 2

z.B.: 1, 2, 3, 4 -> Zentralwert = (2+3)/2 = 2,5

Komplexe Zahlen

Definition

$\mathrm{i}^2=-1 \,$

$z=a+b\cdot \mathrm{i}\,$ mit $a,b \in \mathbb{R}$

a wird als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet.

Polarform und Exponentialform

Polarform

$z=r \cdot \cos (\alpha) + \mathrm{i} \cdot r \cdot \sin(\alpha)$

$z=r \cdot (\cos (\alpha) + \mathrm{i} \cdot \sin(\alpha))$

Exponentialform

$z=r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}$

r wird als Betrag von z bezeichnet. $\varphi$ wird als Argument bezeichnet. (genauere Erklärung unter Komplexe_Zahlen)

Umrechnungsformeln

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;

für $z\neq 0$ wird das Argument wie folgt bestimmt:

$\varphi = \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\ \arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\ \arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0 \end{cases}$

$\varphi =\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\ \arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0 \end{cases}$

Rechenregeln

Addition $\qquad(a + ib) + (x + iy) \,=\, (a + x) + i(b + y)$

Subtraktion $\qquad(a + ib) - (x + iy) \,=\, (a - x) + i(b - y)$

Multiplikation $\qquad(a + ib)\cdot(x + iy) \,=\, ax - by + i(ay + bx)$

Division $\qquad(a + ib):(x + iy) \,=\, \frac{ax + by}{x^2 + y^2} + i\,\frac{bx - ay}{x^2 + y^2}\quad , \quad x^2+y^2 \, \not= \,0$

Vollständige Induktion

Zu beweisen ist eine Behauptung P für alle Natürlichen Zahlen, die größergleich sind als N

$P(n) \mid \forall n \in \mathbb{N} \, n \ge N$

Induktionsanfang: Man beweise P zunächst für n = N
Induktionsschritt: Man zeige, dass P(n+1) aus P(n) folgt.

Bemerkung: Im Regelfall will man P(n) für alle Natürlichen Zahlen zeigen, damit ist N=1 und der Induktionsanfang ist für n=1 zu beweisen

Kombinatorik

Fakultät

$n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n = \prod_{i=1}^{n} i$

0! = 1

Binomialkoeffizient („n über k“)

${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$

Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck

(a + b) 0 = 1

(a + b) 1 = a + b

(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4

...

k = 0... n

$(a+b)^n = {n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^n$

$= \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} b^k$

Stirlingsche Näherungsformel

$n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n}$

N.b.: : Der Relative Fehler $\frac{\epsilon}{n!}$ ist bei großem $n$ klein. Das gilt nicht notwendigerweise für den absoluten Fehler. Es gilt: $n! = \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n} \cdot \left[1 + \mathcal{O}(1/n)\right]$

Potenzsummen

Endliche Reihen

Hintergrundinformation in den Artikeln Summe und Reihe. Erklärungen zum Summenzeichen ebenfalls im Artikel Summe.

Rechenregeln

$\sum_{i=1}^{n}c = n \cdot c$ (Summation über n konstante Glieder ist soviel wie Multiplikation mit n)

$\sum_{i=m}^{n}c = (n-m+1) \cdot c$ (Summation über n-m+1 konstante Glieder)

$\sum_{i=m}^{n}c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n}a_i$ (Konstanter Faktor kann vor das Summenzeichen gezogen werden)

$\sum_{i=m}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n}a_i + \sum_{i=m}^{n}b_i$ (Reihenfolge der Summanden kann beliebig geändert werden)

Arithmetische Reihen

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)

$\sum_{i=m}^n i = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2}$ (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen Zahlen)

$\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$ (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (Summe der ersten n Quadratzahlen)

$\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ (Summe der ersten n Kubikzahlen)

$\sum_{i=0}^n i^4 = \left( \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \right)$ (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

Harmonische Reihe

$\sum_{i=1}^n \frac 1i \approx \ln(n)+ \gamma,$ mit der Euler-Mascheroni-Konstante

γ

(gamma).

Geometrische Reihe

$\sum_{i=0}^n q^i = \frac{\;\; 1-q^{n+1}}{\!\!\!\!\! 1-q} = \frac{\;\; q^{n+1}-1}{\!\!\!\!\! q-1}$ (geometrische Reihe)

$\sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} \qquad \mbox{mit } |q|<1$ (unendliche geometrische Reihe)

Reihen mit Binomialkoeffizienten

$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k} = (a+b)^n \qquad (a,b \in \mathbb{R} \ \mathrm{und} \ n \in \mathbb{N})$ (Binomischer Lehrsatz)

Spezialfälle dieser Formel sind:

$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n$ (setze $a = 1, b = 1$ )
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k} = 0$ (setze $a = - 1, b = 1$ )
$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} q^k = ( 1 + q)^n$ (setze $a = 1, b = q$ )

Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:

$\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}$

Prozentrechnung

G = Grundwert, p = Prozentsatz, W = Prozentwert

$W = G \cdot {p \over 100} \quad\mbox{oder}\quad p = {W \over G} \cdot 100 \quad\mbox{oder}\quad G = {W \cdot 100 \over p}$

Zinsrechnung

K₀	Anfangskapital
K_n	Endkapital (nach n Zinsperioden)
n	Laufzeit
p	Zinsfuß (Zinssatz in Prozent)
i	Zinssatz (mit i = p/100)
q	Zinsfaktor (mit q = 1 + i)
r	Rentenrate
R₀	Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0)
R_n	Rentenendwert (nach n geleisteten Rentenzahlungen)
r	konstante Rentenrate oder Rate
n	Anzahl der Rentenperioden (Anzahl der Jahre, die der Rentenvorgang andauert)
p	Zinssatz der Verzinsung der Rentenraten bzw. des Kapitalbestandes

Als Zinsperiode wird i. d. R. das Kalenderjahr, eingeteilt in 12 Monate mit je 30 Zinstagen gewählt.

Einfache Zinsrechnung:

Endkapital: $Z=K\cdot i\cdot p$

Zinseszins:

Endkapital: $K_n = K_0 \cdot q^n$

Rentenrechnung

Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehörigen Zeitperiode die Rente zur Auszahlung kommt, unterscheidet man zwischen einer vorschüssigen Rente (pränumerando), wenn sie am Anfang, und einer nachschüssigen Rente (postnumerando), wenn sie am Ende des zugehörigen Zeitintervalls ausgezahlt wird.

Rentenrechnung (Nachschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R₀: $r\left(n\right) = R_0 \cdot q^n \cdot\frac{q - 1}{q^n - 1}$
Rentenrate für R_n: $r\left(n\right) = R_n \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$
Rentenendwert: $R_n\left(n\right) = r \cdot\frac{q^n - 1}{q - 1}$
Rentenbarwert: $R_0\left(n\right) = \frac{r}{q^n}\cdot\frac{q^n - 1}{q - 1}$

Rentenrechnung (Vorschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R₀
Rentenrate für R_n: $r\left(n\right)=R_n\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
Rentenendwert: $R_n\left(na\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
Rentenbarwert

Abschreibung

Jährlicher (j) Abschreibungsbetrag (Lineare Abschreibung): $r=\frac{K_0-K_n}{n}$
Jährlicher Abschreibungsbetrag (Geometrisch degressive Abschreibung): $r_j=K_0\cdot q^{j-1}\cdot i$

Sparkassenformel

Ansparen mit vorschüssigen Raten: $K_n=K_0\cdot q^n+r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
Abzahlen mit vorschüssigen Raten: $K_n=K_0\cdot q^n-r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
Ansparen mit nachschüssigen Raten: $K_n=K_0\cdot q^n+r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
Abzahlen mit nachschüssigen Raten: $K_n=K_0\cdot q^n-r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$

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