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Formale Potenzreihe
Aus Kefk.
Formale Potenzreihen sind ein Analogon zu dem mathematischen Begriff der Potenzreihe in der Analysis. Hier werden sämtliche Konvergenzfragen ignoriert.
Definition
Für einen kommutativen Ring A mit Einselement bezeichne A[[X]] den Ring der Folgen
- (a0, a1, ...)
mit der komponentenweisen Addition und der Faltung als Multiplikation. Die Elemente von A[[X]] heißen formale Potenzreihen und werden als
- a0 + a1X + a2X2 + ...
geschrieben.
Eigenschaften
- Die Einheiten von A[[X]] sind genau die Potenzreihen, deren Absolutglied a0 eine Einheit in A ist.
- Ist A noethersch oder ein Integritätsbereich, so gilt das auch für A[[X]].
- Ist k ein Körper, so ist k[[X]] ein vollständiger diskreter Bewertungsring. Er ist die Vervollständigung von k[X] bezüglich des Ideals (X). Sein Restklassenkörper ist k, sein Quotientenkörper der Körper der formalen Laurentreihen k((X)).
- Umgekehrt ist nach den Struktursätzen von Irving S. Cohen jeder vollständige diskrete Bewertungsring gleicher Charakteristik isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen über seinem Restklassenkörper.
