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Fokaloid

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Ein Fokaloid ist eine geometrische Figur, die durch einander konfokale Ellipsen oder Ellipsoide berandet ist.

Inhaltsverzeichnis

Dreidimensionaler Fokaloid

Bild:Fokaloid3d.jpg

Ein 3D-Fokaloid ist eine Schale, die durch zwei konfokale Ellipsoide berandet ist.

Wird eine Berandung durch ein implizit gegebenes Ellipsoid

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

mit den Halbachsen a,b,c beschrieben, so ist die zweite Berandung durch

\frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}=1 gegeben.

Im Grenzfall von \lambda \to 0 spricht amn von dünnen, im anderen Fall von dicken Fokaloiden.

Konfokalität

Konfokale Ellipsoide haben die gleichen Brennpunkte oder Foki, die im obigen Beispiel durch

f_1^2=a^2-b^2=(a^2+\lambda)-(b^2+\lambda)

f_2^2=a^2-c^2=(a^2+\lambda)-(c^2+\lambda)

f_3^2=b^2-c^2=(b^2+\lambda)-(c^2+\lambda)

gegeben sind.

Zweidimensionaler Fokaloid

In zwei Dimensionen ist ein Fokaloid ein elliptischer Ring, der durch einander konfokale Ellipsen berandet ist.

Bild:Fokaloid.jpg

Definition fokaloide Verteilung

Eine konfokale oder fokaloide Verteilung liegt vor, wenn z.B. die Schichten konstanter Dichte einer Massenverteilung oder die Schichten gleicher Ladungsdichte durch konfokale Ellipsoide bzw. Ellipsen (s. Bild) gegeben sind.

Bild:Konfokale Verteilung.jpg

Physikalische Bedeutung

Fokaloide haben auch Bedeutung in der physikalischen Potenzialtheorie. Sie liegt darin, dass zwei konfokale, homogen mit Masse oder Ladung gefüllte Ellipsoide in einem außerhalb befindlichen Probekörper Kräfte bewirken, die in die gleiche Richtung weisen und proportional zu den jeweiligen Massen bzw. Ladungen der jeweils einzelnen Ellipsoide sind.

Hieraus kann man schließen, dass auch verschiedene konfokale, homogen mit Masse oder Ladung gefüllte Fokaloide gleicher Masse bzw. Ladung außerhalb ihrer Ausdehnung unabhängig von ihrer Geometrie die gleiche Wirkung hervorrufen.

Dies bedeutet auch, dass die äußere Wirkung einer fokaloiden Verteilung durch die äußere Wirkung eines dazu konfokalen, homogen mit gleicher Masse gefüllten Ellipsoiden beschrieben werden kann.

Weiterhin lässt sich das äußere Feld einer Strecke (dünner Stab) mit homogen darauf verteilter Masse oder konstantem Potenzial entlang des Stabes als fokaloide Verteilung beschreiben, wobei die Enden der Strecke (des Stabes) die Brennpunkte (Foki) des fokaloiden Feldes sind.
Die Feldvektoren stehen dabei senkrecht auf den Ellipsoiden gleichen Feldbetrages.

Siehe auch: Homöoid.

Literatur

  • Chandrasekhar, S. (1969); Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale Univ. Press. London
  • Routh, E.J., (1882): A Treatise on Analytical Statics, Vol II, Cambridge University Press, Cambridge.
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