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Flachheit (Systemtheorie)

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Bild:Disambig-dark.svg Dieser Artikel erläutert Flachheit als Systemeigenschaft; zu anderen Bedeutungen siehe Flachheit.

Flachheit in der Systemtheorie ist eine Systemeigenschaft, die den Begriff der Steuerbarkeit linearer Systeme auf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, das die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System. Flache Systeme besitzen einen Ausgang, so dass alle Zustands- und Eingangsgrößen sich vollständig anhand dieses flachen Ausgangs und einer endlichen Zahl seiner Zeitableitungen beschreiben lassen. Der Flachheitsbegriff der Systemtheorie basiert auf dem mathematischen Begriff Flachheit der kommutativen Algebra und findet Anwendung in der Regelungstechnik.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein nichtlineares System

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t)), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \quad \mathbf{u}(t) \in R^m, \quad \mathbf{x}(t) \in R^n, \text{Rang} \frac{\partial\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})}{\partial\mathbf{u}} = m


heißt flach, wenn es einen Ausgang

\mathbf{y}(t) = (y_1(t),...,y_m(t))

gibt, der die folgenden Bedingungen erfüllt:

  • Die Größen yi,i = 1,...,m lassen sich als Funktion der Zustände xi,i = 1,...,n und Eingänge ui,i = 1,...,m und einer endlichen Zahl von Zeitableitungen u_i^{(k)}, k=1,...,\alpha_i ausdrücken: \mathbf{y} = \Phi(\mathbf{x},\mathbf{u},\dot{\mathbf{u}},...,\mathbf{u}^{(\alpha)}).
  • Die Zustände xi,i = 1,...,n bzw. Eingangsgrößen ui,i = 1,...,m lassen sich als Funktion der yi,i = 1,...,m und einer endlichen Zahl derer Zeitableitungen y_i^{(k)}, i=1,...,m ausdrücken.
  • Die Komponenten von \mathbf{y} sind differentiell unabhängig, d.h. sie erfüllen keine Differentialgleichung der Form \phi(\mathbf{y},\dot{\mathbf{y}},\mathbf{y}^{(\gamma)}) = \mathbf{0}.

Sind diese Bedingungen mindestens lokal erfüllt, so heißt der möglicherweise fiktive Ausgang flacher Ausgang und das System heißt flach.

Bezug zur Steuerbarkeit linearer Systeme

Ein lineares System \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 und bezüglich des nichtlinearen Systems identisch definierten Dimensionen für \mathbf{x},\mathbf{u} ist genau dann flach, wenn es steuerbar ist. Für lineare Systeme sind beide Eigenschaften also äquivalent und austauschbar.

Bedeutung

Die Flachheitseigenschaft ist für die Analyse und Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie ist besonders vorteilhaft für die Trajektorienplanung und asymptotischen Folgeregelung nichtlinearer Systeme.

Literatur

  • M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327-1361, 1995
  • Hebertt Sira-Ramírez, Sunil K. Agrawal: Differentially Flat Systems (Control Engineering). CRC: 2004. ISBN-10: 0824754700

Siehe auch

Wikipedia
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