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Fixpunkt (Mathematik)
Aus Kefk.
In der Geometrie versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt, der durch eine gegebene geometrische Abbildung auf sich abgebildet wird. Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind die Punkte der Spiegelachse. Eine Punktspiegelung hat nur einen Fixpunkt, nämlich deren Zentrum.
Allgemeiner wird als Fixpunkt in der Mathematik ein Punkt x bezeichnet, der die Gleichung f(x) = x erfüllt. Anschaulich bedeutet dies, dass man die Funktion auf den Punkt anwenden kann, ohne ihn zu verändern.
Da sich jede Gleichung f(x) = y in eine Fixpunktform mit g(x) = f(x) − y + x umwandeln lässt, sind Fixpunktgleichungen ein Prototyp auch von nichtlinearen Gleichungen.
Veranschaulichung
Der Fixpunkt 
der Funktion f(x) ist der Schnittpunkt der Funktion mit y = x.
Fixpunktsätze
Die Existenz von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Sätze. Der Banach'sche Fixpunktsatz besagt, dass eine Kontraktion eines vollständigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt.
Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer, der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im 
oder im 
. .
Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunktiteration xn + 1 = f(xn) im betrachteten Raum und damit ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.
