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Finite-Volumen-Verfahren
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Das Finite-Volumen-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen, also von speziellen, häufig hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen, denen ein Erhaltungssatz zugrunde liegt.
Am prominentesten ist der Einsatz der Finite-Volumen-Methode in der numerischen Strömungsmechanik, wo sie als Standardverfahren zur Lösung kompressibler Strömungsprobleme, also der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen benutzt wird.
Das Verfahren benutzt in seiner Herleitung eine integrale Form der Erhaltungsgleichungen und erlaubt damit auch unstetige Lösungen, die für solche Gleichungen typisch sind. Ferner werden nur geringe Anforderungen an die Gitterzellen gestellt, was unstrukturierte und flexible Geometrien erlaubt. Darüberhinaus erhält es die Größen der Erhaltungsgleichung.
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Herleitung
Ein Erhaltungssatz ist üblicherweise durch eine Gleichung der Art
auf einem Gebiet Ω gegeben. Die Herleitung für andere Gleichungen mit weiteren Termen erfolgt analog. Zunächst wird das Gebiet in eine endliche (finite) Zahl an Gitterzellen (die Volumen) zerlegt. In jeder dieser Zellen gilt der Erhaltungssatz. Erfüllt jede der Zellen die Bedingungen des gaußschen Integralsatzes, etwa Lipschitz-Stetigkeit des Randes, so ergibt Integration über eine Zelle Ωi und Umwandlung des Integrals der Divergenz in ein Oberflächenintegral:
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Die Veränderung einer erhaltenen Größe (z.B. der Energie) in einer Zelle kann also nur durch Ab- oder Hinzufließen (in diesem Fall von Energie) über den Rand der Zelle passieren. In jeder Zelle berechnet man nun den Mittelwert der Erhaltungsgröße in dieser Zelle 
erhält man im Falle, dass sich die Zelle mit der Zeit nicht verändert, eine Gleichung, welche die Veränderung der Mittelwerte in den Zellen mit der Zeit beschreibt:
.
In numerischen Verfahren wählt man üblicherweise polygonal berandetet Zellen, so dass sich das Integral über den Rand als Summe von Oberflächenintegralen über einfache Gebilde (im zweidimensionalen Fall gerade Kanten), darstellen lässt.
Lösung der Gleichung
Zur Berechnung der Oberflächenintegrale wird im Regelfall eine Gauß-Quadratur zweiter Ordnung genommen. Nach Mittelung der Werte in den einzelnen Zellen ergibt sich das Problem, dass die numerische Lösung entlang der Gitterkanten unstetig ist. Allerdings lässt sich die Situation an der Kante als Riemann-Problem auffassen. Die Verwendung eines approximativen Riemann-Lösers erlaubt dann die Berechnung der Flüsse. Hierbei wird Konsistenz des Riemann-Lösers verlangt, was in diesem Fall zum einen die Stetigkeit oder sogar Lipschitz-Stetigkeit bedeutet, sowie die Bedingung, dass er bei identischen Daten aus beiden Zellen den physikalischen Fluss liefert. Diese liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Jenes wird mittels numerischer Methoden für gewöhnliche Differentialgleichungen näherungsweise gelöst.
Verfahren Höherer Ordnung
Das bisher beschriebene Verfahren ist durch die Mittelung der Werte in jeder Zelle nur erster Ordnung. Höhere Ordnung wird dadurch erreicht, dass Polynome höherer Ordnung in den Zellen angesetzt werden. Die zentrale Schwierigkeit hierbei ist, dass Schocks in der Lösung zu Osziallationen führen können. Zur Vermeidung dessen werden Total-Variation-Diminishing-Verfahren (TVD-Verfahren) eingesetzt, die die totale Variation nicht erhöhen und so keine neuen Extrema zulassen. Die wichtigsten Klassen von Verfahren sind hier die Flux-Limiter-Verfahren und die ENO-Verfahren (bzw. WENO).
Konvergenztheorie
Finite-Volumen-Verfahren lassen sich für elliptische Gleichungen als spezielle Finite-Elemente-Verfahren auffassen, bei denen man stückweise konstante bzw. stückweise lineare Ansatzfunktionen wählt, die auf den Zellen und nicht auf den Gitterpunkten leben. Dies erlaubt mit Hilfe der dortigen umfassenden Theorie eine Konvergenzanalyse.
Für parabolische oder hyperbolische Gleichungen wie die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen ist die mathematische Konvergenztheorie allerdings nicht so weit fortgeschritten.
Hyperbolische Erhaltungsgleichungen
Bei hyperbolischen Problemen treten insbesondere Stöße auf, die die Analyse erheblich erschweren. Eine weitere Schwierigkeit hier besteht darin, dass die Lösung der Gleichungen im Regelfall nicht eindeutig ist. Der Satz von Lax-Wendroff liefert, dass ein Finite-Volumen-Verfahren bei Konvergenz tatsächlich gegen eine schwache Lösung der Gleichung konvergiert. Entropiebedingungen bzw. numerische Viskosität werden dann genutzt, um zu zeigen, dass dies tatsächlich die physikalisch sinnvolle ist.
Eine andere Aussage die für alle Finiten-Volumen-Verfahren gilt, ist die notwendige CFL-Bedingung, dass der numerische Abhängigkeitsbereich den tatsächlichen Abhängigkeitsbereich enthalten muss. Andernfall ist das Verfahren instabil.
Insbesondere für mehrdimensionale Gleichungen ist die Konvergenztheorie schwierig. Im eindimensionalen gibt es auch für Verfahren höherer Ordnung Resultate, die darauf beruhen, dass der Raum der Funktionen mit beschränkter Variation zu kompakten Mengen in L1 liefert.
Verbreitung
Die verbreitetsten kommerziellen Programmpakete zur numerischen Strömungssimulation mittels FVM sind Star-CD von CD-adapco, CFX von Ansys und insbesondere Fluent.
Nichtkommerzielle Programmpakete zur numerischen Strömungssimulation mittels FVM sind insbesondere die Codes der europäischen Raumfahrtbehörden: Elsa und der Tau-Code der DLR. OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation) ist ein unter der GPL veröffentlichter Code, welches unter anderem in der Lage ist Strömungsprobleme zu lösen.
Geschichte
Die grundlegenden theoretischen und praktischen Ideen wurden ab den 1950er Jahren für die Raumfahrt entwickelt, insbesondere von dem Russen Godunow und dem Ungarn Lax. Finite-Volumen-Verfahren wurden dann unabhängig voneinander 1971 von McDonald und 1972 von MacCormack und Paullay für die Lösung der zeitabhängigen zweidimensionalen Euler-Gleichungen eingeführt.
Die Idee der approximativen Riemann-Löser tauchte erstmals in den 1980ern auf, als Roe, Osher, van Leer und andere ebenfalls unabhängig voneinander solche Verfahren vorstellten.
Literatur
- C. Hirsch: Numerical computation of internal and external flows, 2 Bände, 1988, Wiley & Sons, New York.
- Randall J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3.
