Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Finite-Differenzen-Methode
Aus Kefk.
Die Finite-Differenzen-Methode ist das einfachste numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.
Zunächst wird das Gebiet, für das die Gleichung gelten soll, in eine endliche (finite) Zahl von Gitterpunkten zerlegt. Dies geschieht meist durch ein Gitter von senkrecht aufeinander stehenden Linien, den Gitterpunkten entsprechen dann die Kreuzungspunkte. Die Ableitungen an den Gitterpunkten werden dann durch Differenzen approximiert (siehe dazu Numerische Differentiation). Die partiellen Differentialgleichungen werden so in ein System von Differenzengleichungen umformuliert und mittels verschiedener Algorithmen entweder implizit oder explizit gelöst.
Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung bei hydrodynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik.
Differenzenquotient
Ein naheliegender Ansatz ist die Verwendung des Vorwärtsdifferenzenquotienten
bzw. des Rückwärtsdifferenzenquotienten
Dabei ist jedoch die Näherung im Vergleich zur Auslöschung relativ schlecht. Eine bessere Näherung erhält man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten
Beispiel
Wir diskretisieren die lineare Differenzialgleichung f''(x) = 2 in Ω = [0;1] mit der Randbedingung f(0) = f(1) = 3 auf einem Gitter mit der Maschenweite 
.
Zur Diskretisierung der zweiten Ableitung nehmen wir den zentralen Differenzenquotienten der zweiten Ableitung
Unser Gebiet Ω wird also im Inneren durch (n-1) Knoten diskretisiert. Wir nummerieren diese Knoten von x1 bis xn − 1 durch. Für jeden dieser Knoten müssen wir die zweite Ableitung berechnen. Wir erhalten also (n-1) Gleichungen mit (n-1) Unbekannten.
und
für i = {2,..n − 2} und
Daraus erhalten wir ein Gleichungssystem Ax = b mit einer dünnbesetzten Matrix A. Solche Gleichungsystem lassen sich effektiv mit iterativen Lösern berechnen.
