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Filter mit endlicher Impulsantwort

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Ein Filter mit endlicher Impulsantwort (englisch finite impulse response filter, FIR-Filter, oder manchmal auch Transversalfilter genannt) ist ein diskretes, meist digital implementiertes Filter und wird im Bereich der digitalen Signalverarbeitung eingesetzt.

Das Charakteristikum von FIR-Filtern ist, dass sie über eine Impulsantwort mit garantiert endlicher Länge verfügen. Das bedeutet: FIR-Filter können, egal wie die Filterparameter gewählt werden, niemals instabil werden oder zu einer selbstständigen Schwingung angeregt werden. FIR-Filter sind immer nicht-rekursive Filter, weisen also keinerlei Rückkopplungen oder Schleifen in ihrer Struktur auf. Gleichwohl können bestimmte Übertragungsfunktionen von FIR-Filtern auch mit diskreten rekursiven Filterstrukturen realisiert werden.

Während es sehr einfach ist, digitale FIR-Filter zu realisieren, ist die Implementierung analoger FIR-Filter wegen der notwendigen Laufzeit-Verzögerungen nicht ohne Weiteres als elektrische Schaltung möglich. Beispiele sind (als trivialer Grenzfall) eine Verzögerungsleitung sowie SAW-Filter.

Gleichungen

Die Differenzengleichung für ein FIR-Filter mit n-ter Ordnung lautet:

y[k]=\sum_{i=0}^n \beta_i \cdot u_{k-i}

Durch Umformen lässt sich die Übertragungsfunktion

H(z)=\sum_{i=0}^n \beta_i \cdot z^{-i}

mit βi als den Filterkoeffizienten ableiten. Ein FIR-Filter ist daher in der z-Ebene immer durch n Nullstellen und einen n-fachen Pol im Ursprung bei 0 gekennzeichnet. Der Frequenzgang wird daher bei einem FIR-Filter ausschließlich durch die Nullstellen in der z-Ebene bestimmt.

Eigenschaften

FIR-Filter weisen folgende weitere Eigenschaften auf:

  • Kausal und nicht rekursiv
  • FIR-Filter sind immer stabil. Dies folgt aus der Notwendigkeit, dass die einzige n-fache Polstelle der Übertragungsfunktion immer im Ursprung und somit innerhalb des Einheitskreises liegt.
  • Die Gleichspannungsverstärkung eines FIR-Filters ist gleich der Summe aller Filterkoeffizienten.
  • Die Einheits-Stoßantwort, das ist eine Antwort auf eine Zahlenfolge, die nur an erster Stelle +1 ist und deren nachfolgenden Elemente sämtlich 0 sind, ist die Folge seiner Koeffizienten. Diese Folge ist bei einem FIR-Filter mit Ordnung n immer n+1 Werte lang.
  • Die Verstärkung eines FIR-Filters bei der halben Abtastfrequenz ist gleich der im Wechsel mit +1 und -1 gewichteten Koeffizientensumme.
  • Durch ihre grundsätzlich garantierte Stabilität werden FIR-Filter bei adaptiven Filtern als Basis für die Filterstruktur eingesetzt.

Siehe auch

Filter (Elektronik), Signalverarbeitung, Filter mit unbegrenztem Impulsansprechverhalten, Fensterfunktion

Von „http://www.kefk.org/wiki/Filter_mit_endlicher_Impulsantwort“
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