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Figuriert heißen Zahlen, die sich auf eine geometrische Figur, wie z. B. Dreiecke oder Vierecke –allgemein Polygone, daher Polygonalzahlen - aber auch Körper, wie Tetraeder, Würfel oder Oktaeder usw. – allgemein Polyeder, daher Polyederzahlen - beziehen.

Alle Folgen der figurierten Zahlen sind Reihen, da die Folgeglieder immer Summen von Zahlen einer bestimmten Folge sind.

Die Folgen von figurierten Zahlen bilden sogenannte arithmetischen Folgen. Zur Bestimmung der expliziten Formel untersucht man die Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern, die selber wiederum eine Folge, die Differenzenfolge, bilden. Ist keine andere Möglichkeit ersichtlich, so lässt sich die explizite Gesetzmässigkeit jeder arithmetische Folge mit dem sogenannten Polynomansatz algebraisch bestimmen.

Schon die griechischen Mathematikerinnen und Mathematiker beschäftigten sich mit figurierten Zahlen.

Inhaltsverzeichnis 1 Polygonalzahlen 2 Polygonalzahlen mit dezentralem Aufbau 2.1 Dreieckszahlen mit dezentralem Aufbau “dre“ 2.1.1 Die Treppe 2.1.2 Die Doppeltreppe 3 Polyederzahlen 3.1 Tetraederzahlen “tet“ 3.2 Hexpyramidalzahlen – Kubikzahlen “kub“ 4 Literatur

Polygonalzahlen

Je nach Aufbau kann man dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen unterscheiden.

Polygonalzahlen mit dezentralem Aufbau

Dreieckszahlen mit dezentralem Aufbau “dre“

Dreieckszahlen mit dezentralem Aufbau sind im Prinzip die «Mutterfolge» aller figurierten Zahlen, da sich alle Polygon- und Polyederzahlen letztlich wieder auf sie zurückführen lassen.

Dreieckszahlen mit dezentralem Aufbau erhält man, indem man aufeinanderfolgende natürliche Zahlen addiert. Sie heißen so, weil wir die Punkte (Steinchen, Ecken, ...) in Dreiecksform auslegen können.

Bild:Nc polygon number3.PNG

Die Treppe

Zeichnet man den dezentralen Aufbau von Dreieckszahlen etwas verändert auf, so lässt sich das Bild einer Treppe erkennen: Bild:3eckszahl treppe2.PNGBild:3eckszahl treppe3.PNGBild:3eckszahl treppe4.PNGBild:3eckszahl treppe5.PNG

Die Doppeltreppe

Ebenso lassen sich natürlich Doppeltreppen aufbauen:

Rekursive Berechnung:

Mathematisch gesehen handelt es sich hier um eine Addition der ungeraden Zahlen:

dotr1 = 1
dotr2 = 1 + 3 = 4
dotr3 = 1 + 3 + 5 = 9 
dotr4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 
dotrn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = dotrn − 1 + (2n − 1)
...

Explizite Berechnung: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²

Bei den Doppeltreppenzahlen handelt es sich folglich um die Quadratzahlen mit dezentralem Aufbau. Ebenso kommt man natürlich durch Umformung der Summe der aufeinander folgenden Dreieckszahlen auf n²:

Polyederzahlen

Figurierte Zahlen gibt es auch im mehrdimensionalen Raum. Auch im R3 lassen sie sich schön darstellen.

Tetraederzahlen “tet“

Tetraederzahlen entstehen durch ein Übereinanderschichten von Dreieckszahlen mit dezentralem Aufbau.

Hexpyramidalzahlen – Kubikzahlen “kub“

Hexpyramidalzahlen sind Pyramidalzahlen bei denen Hexagone mit zentralem Aufbau übereinander geschichtet werden. Hier soll gezeigt werden, dass sie gleich groß sind wie die entsprechenden Kubikzahlen mit dezentralem Aufbau.

Literatur

Conway H. u. Guy R.: Zahlenzauber. Von natürlichen und imaginären und anderen Zahlen, Basel-Boston-Berlin 1997

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