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Federpendel

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Ein Federpendel

Ein Federpendel ist ein als Schraubenfeder ausgebildetes Pendel. Eine an die Feder angehängte Masse schwingt nach Einwirkung einer entlang der Federachse gerichteten Anregung harmonische Schwingung.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaft der Feder

Die elastische Auslenkung einer Feder ist durch das vereinfachte Hookesche Gesetz beschrieben:

F = -D \cdot s

Das Gesetz besagt, dass eine Torsions- oder Schraubenfeder, wenn innerhalb ihres elastischen Bereiches aus ihrer Ruhelage um die Distanz s ausgelenkt, proportional eine entgegen der Auslenkung wirkende Kraft F ausübt. Die Proportionalitätskonstante D wird Federkonstante genannt. Unter Umständen kann die Federkonstante auch als "x" in der Literatur bezeichnet werden.

Eigenschaft der Masse

Wenn an der ausgelenkten Feder eine Masse m befestigt ist, so wirkt die Federkraft auf die Masse. Nach dem newtonschen Gesetz bewirkt die auf eine Masse wirkende Kraft eine Beschleunigung a derselben:

F = m \cdot a(t)

Gleichung des Federpendels

Aus den beiden genannten Gleichungen ergibt sich für das Federpendel die Gleichung

m \cdot a(t) = -D \cdot s

oder umgeordnet

a(t) = \frac{-D}{m} \cdot s

Die Beschleunigung a ist mathematisch die zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit. Damit entsteht die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

\frac{d^2}{dt^2} s = \frac{-D}{m} \cdot s

Daraus ergibt sich eine Bewegung des Massenpunktes um den Ruhepunkt (der Punkt, an dem die Federkraft die Gravitationskraft genau kompensiert):

s(t) = A \cdot \cos( \omega t )

mit geeigneter Wahl der Anfangsbedingungen. Die Kreisfrequenz ω ist durch

\omega = \sqrt{ D \over m }

gegeben, und hängt mit der Schwingungsdauer T des Federpendels über

T = { 2\pi \over \omega }

zusammen. Die Schwingungsdauer ist damit

T = 2\pi \sqrt{ m \over D } .

Alternativ lässt sich das Problem unter Verwendung der Lagrangefunktion lösen:

L = T − V
(T = Ekin;V = Epot)

Die kinetische Energie Ekin ist, unter Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems:

E_{\rm kin} = \frac {1}{2} m \dot{x}^2

Zudem befindet sich das Teilchen in einem (harmonischen) Federpotential. Sei D weiterhin die Federkonstante:

E_{\rm pot} = \frac {1}{2} D x^2

Diese Lagrangefunktion in die Lagrangegleichung eingesetzt liefert folgende Teile:

{\partial{L} \over \partial x} = - D x

sowie:

{d\over dt} {\partial{L} \over \partial {\dot{x}}} = m \ddot{x}

Somit erhält man die oben aufgeführte, bereits bekannte Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators:

\ddot{x} = \frac {-D}{m} x

Man mag sich fragen: Wieso diese Verkomplizierung? Nun, der Lagrangeformalismus ermöglicht die (oft einfache) Beschreibung von nicht - trivialen Problemen. Nehmen wir an, unser Federpendel bewegt sich nicht mehr nur auf einer Geraden, sondern auch im Raum. Dies ist sehr praxisbezogen, da es kaum möglich ist, ein Pendel derart anzustoßen, das es sich genau auf einer Geraden bewegt. Dann führt das Federpendel zudem Pendelbewegungen in der x-y bzw. x-z Ebene aus, die denen eines mathematischen Pendels gleichen. Geringe Korrekturen bei der kinetischen sowie potentiellen Energie führen schnell zu Differentialgleichungen, die zumindest numerisch gelöst werden können.

Vereinfachungen

Die aufgeführten Gleichungen beschreiben das Federpendel nur näherungsweise.

  1. Die innere Reibung der Feder führt zu einer Abbremsung der Schwingung. Man spricht dann von einem gedämpften harmonischen Oszillator oder einer gedämpften Schwingung.
  2. Die Feder selbst besitzt auch eine Masse, die zu beschleunigen ist. Die Schwingungsdauer wird bei Berücksichtigung der Federmasse mF zu
T = 2\pi \sqrt{ m + m_F / 3 \over D }

Anmerkungen

Das Gravitationfeld der Erde hat keine Auswirkung auf das Federpendel. Die Erdbeschleunigung wirkt gleichstark an jedem Punkt des Federpendels. Nach Auslenkung der Feder in die Ruhelage wirkt der konstanten Gravitationskraft eine genau gleichstarke Federkraft entgegen.

Siehe auch

Weblinks

Wikipedia
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Von „http://www.kefk.org/wiki/Federpendel“
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