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Faktorieller Ring

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Ein faktorieller Ring ist eine Struktur in der Algebra, und zwar ein Integritätsring, in dem jedes Element a \neq 0 eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Integritätsring A heißt faktoriell, wenn eine der beiden folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

  • (1) Jedes Element a\ne0, das keine Einheit ist, besitzt eine im wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren.
  • (2) Jedes Element a\ne0, das keine Einheit ist, besitzt eine Zerlegung in ein Produkt von Primelementen, ggf. multipliziert mit einer Einheit. (Darstellungen als Produkt von Primelementen sind stets im wesentlichen eindeutig.)

Aufgrund der zweiten Charakterisierung spricht man auch von ZPE-Ringen ("Zerlegung in Prim-Elemente"; englisch: UFD unique factorization domain).

Zerlegung in irreduzible Faktoren

a \in R hat eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung

a=\varepsilon\, q_1\, q_2 \dots q_r

mit einer Einheit \varepsilon und irreduziblen Elementen qi hat. Diese Zerlegung ist im wesentlichen eindeutig, wenn bei jeder weiteren solchen Darstellung

a=\varepsilon'\, q_1'\, q_2' \dots q_{r'}'

gilt: r = r' und q_i \sim q_i' (nach eventuellem Umnummerieren).

q_i \sim q_i' bedeutet: qi und qi' sind assoziiert.

Eigenschaften

  • Irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen sind prim. (Damit folgt auch die Äquivalenz der oben angegebenen Beschreibungen.)

Beispiele

Gegenbeispiel

Ein Beispiel für einen Ring, in dem es eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt, die nicht eindeutig ist, ist der Ring \mathbb Z[\sqrt{-5}] (siehe Adjunktion): In den beiden Produktdarstellungen

6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

sind die Faktoren jeweils irreduzibel, aber unter den vier Zahlen 2,3,1+\sqrt{-5} und 1-\sqrt{-5} sind keine zwei assoziiert. Die Einheiten in diesem Ring sind + 1 und − 1.

Wikipedia
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