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Eulersche Identität

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Bild:Euler's formula.png
Veranschaulichung in der komplexen Zahlenebene

Die eulersche Identität bezeichnet die Formel

e^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right)

und bildet das Bindeglied zwischen trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen. Dabei bezeichnet e die Eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus) und i die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio, veröffentlicht in Lausanne 1748 unter der Voraussetzung \varphi\in\Bbb R (aus der Anschauung wird klar, dass \varphi auch Winkel genannt wird), sie gilt jedoch auch für alle komplexen Argumente \varphi\in\Bbb C.

Für den Winkel \varphi = \pi (die Kreiszahl; entspricht einem Winkel von 180°) ergibt sich die Identität

\begin{matrix} e^{\mathrm{i}\,\pi} = \end{matrix}-1\;,

die einen verblüffend einfachen Zusammenhang zwischen den vier beteiligten mathematischen Konstanten herstellt: der Eulerschen Zahl e, der imaginären Einheit i der komplexen Zahlen, der Kreiszahl \pi\, sowie der Einheit 1 der reellen Zahlen.

Richard Feynman nannte diese Gleichung in seinem Notizbuch die „bemerkenswerteste Formel der Welt“; andere nennen sie die schönste Formel der Mathematik.

Motivation

Wir betrachten die Funktion

f(x)=\frac{\cos x+\mathrm i\cdot\sin x}{\mathrm e^{\mathrm ix}}.

Der Nenner ist nie Null, denn es gilt

\mathrm e^{\mathrm ix}\cdot\mathrm e^{-\mathrm ix}=\mathrm e^0=1.

Die eulersche Identität besagt gerade, dass f(x) = 1 für alle x gilt. Wir zeigen das in den folgenden Schritten:

  • Wir zeigen f '(x) = 0 für alle x.
  • Da die Ableitung überall Null ist, ist f konstant.
  • Da f(0)=\frac{\cos 0+\mathrm i\cdot\sin 0}{\mathrm e^{\mathrm i\cdot0}}=1 gilt, ist f konstant gleich 1.

Berechnen wir also die Ableitung von f nach der Quotientenregel: Die Ableitung des Zählers ist

-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x,

die des Nenners

\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}.

Damit ergibt sich

f'(x)\, =\frac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
f'(x)\, =\frac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\mathrm i\cdot\cos x-\sin x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
=0\,

Anwendungen

Bei der Berechnung der Potenz ii der imaginären Einheit mit sich selbst wird die Eulersche Identität benutzt, siehe Potenz (Mathematik). Der Potenzausdruck ist mehrdeutig; die Lösungen sind aber alle reell mit dem Hauptwert \mathrm{i}^\mathrm{i}\approx 0{,}207\,879\,576\,350\,76.

Eulersche Formel

Als einfache Folgerung der Eulerschen Identität erhält man die Eulersche Formel, die sich folgendermaßen darstellt:

e^z = e^{x+\mathrm{i}y} = e^x e^{\mathrm{i}y} = e^x \left(\cos\left( y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y \right)\right)

Hieraus erhält man sofort eine Darstellung des Betrages von ez: | ez | = ex.

Wikipedia
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