Erwartungstreue

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Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem die Qualität eines Schätzers bemessen werden kann. Sie drückt aus, wie gut der Schätzer den Wert aus der Grundgesamtheit repräsentiert.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es sei X\; eine Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion aus einer parametrischen Familie P_{\vartheta}\; mit \vartheta \in \Theta\; stammt. Ein Schätzer g(X) \; heißt erwartungstreu für einen Parameter \vartheta bzw. allgemeiner für ein Funktional \gamma(\vartheta), falls E_{\vartheta} [g(X)] = \gamma(\vartheta) für alle \vartheta \in \Theta\; gilt. Die anschauliche Interpretation ist, dass man mit der Wahl von g(X) \; als Schätzer im Mittel richtig liegt, da dessen Erwartungswert exakt dem gesuchten Parameter entspricht.

Die Abweichung von diesem Mittel heißt im Englischen bias, so dass erwartungstreue Schätzer entsprechend als unbiased oder unverzerrt bezeichnet werden.

Asymptotische Erwartungstreue

In der Regel ist es nicht von Bedeutung, dass ein Schätzer erwartungstreu ist. Die meisten Resultate der mathematischen Statistik gelten erst asymptotisch, also wenn der Stichprobenumfang ins Unendliche wächst. Von daher ist es in der Regel ausreichend, wenn Erwartungstreue im Grenzwert gilt, d. h. für eine Folge von Schätzern g_n \; die Konvergenzaussage \lim_{n \rightarrow \infty} E_{\vartheta} [g_{n}(X)] = \gamma(\vartheta) gilt.

Beispiel

Ein typisches Beispiel sind Schätzer für die Parameter von Normalverteilungen. Man betrachtet in diesem Fall die parametrische Familie

P_{\vartheta}, \; \vartheta \in \Theta mit \vartheta = (\mu, \sigma^2)\; und \;\Theta = \mathbb R \times \mathbb R^{+},

wobei jedes Parser-Fehler (Unbekannter Fehler): _{\vartheta} \; 

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht, die normalverteilt mit Erwartungswert \mu\; und Varianz \sigma^2\; ist. Üblicherweise sind Beobachtungen X_1, \ldots, X_n\; gegeben, die stochastisch unabhängig sind und jeweils die Verteilung P_{\vartheta}\; besitzen.

Schätzung des Mittelwerts einer Normalverteilung

Ein erwartungstreuer Schätzer für \mu = \gamma_1(\vartheta) = c_1^T \vartheta \; mit c_1 = (1,0)^T\; ist beispielsweise der empirische Mittelwert \bar{X_n} = \frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_i\;, da E[\bar{X_n}] = \mu \; gilt.

Schätzung der Varianz einer Normalverteilung

Der Maximum-Likelihood-Schätzer s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X_n})^2 ist dagegen nicht erwartungstreu für \sigma^2 = \gamma_2(\vartheta) = c_2^T \vartheta \; mit c_2 = (0,1)^T\;, da sich E[s_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2\; zeigen lässt. Der Bias beträgt also E[s_n^2] - \sigma^2 = -\frac{1}{n} \sigma^2.\; Da dieser asymptotisch, also für n \rightarrow \infty\;, verschwindet, ist der Schätzer allerdings asymptotisch erwartungstreu.

UMVU-Schätzer

Eine wichtige Anwendung erwartungstreuer Schätzer besteht darin, dass mit ihrer Hilfe gleichmäßig beste Schätzer konstruiert werden können. Das Ziel dabei ist es, solche Schätzer zu finden, die das Risiko, häufig gesetzt als die mittlere quadratische Abweichung, über eine ganze Klasse von Schätzern minimieren. In den allermeisten Fällen gibt es keine Schätzer, die über die gesamte Klasse von Schätzern optimal sind, so dass man sich auf Teilklassen beschränken muss. Eine typische Teilklasse sind dabei erwartungstreue Schätzer, wobei man zeigen kann, dass genau diese Schätzer optimal sind, die als Funktion einer suffizienten und vollständigen Statistik dargestellt werden können.

Beste erwartungstreue Schätzer werden auch UMVU-Schätzer genannt, für uniformly minimum variance unbiased. Dies lässt sich darauf zurückzuführen, dass das Risiko eines Schätzers gleich der Summe aus Bias und Varianz ist. Ein erwartungstreuer Schätzer mit minimaler Varianz ist daher gerade ein bester erwartungstreuer Schätzer.

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Von „http://www.kefk.org/wiki/Erwartungstreue“
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