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Ersatzschaltungen des Bipolartransistors

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Dieser Artikel war Teil des Artikels Bipolartransistor und wurde der Übersicht wegen dort ausgelagert.

Um einen Bipolartransistor berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes, Modell. Hierbei werden verschiedene Stufen der Abstraktion verwendet. Hierbei werden meist einfache Modelle zur Dimensionierung und komplexere Modelle zur Schaltungssimulation verwendet.

Weiters unterscheidet man zwischen Modellen für den statischen und den dynamischen Betrieb. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.

Inhaltsverzeichnis

1 Formelzeichen
2 Modelle für das statische Verhalten
3 Modelle für das dynamische Verhalten
- 3.1 Gummel-Poon-Modell
- 3.2 Dynamisches Kleinsignalmodell
  - 3.2.1 Grenzfrequenz im Kleinsignalbetrieb
4 Literatur
5 Siehe auch

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.

Zeichen	Beschreibung
$I B, N$	Idealer Basisstrom der Emitter-Diode
$I B, I$	Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode
$I B, E$	Basis-Leckstrom der Emitter-Diode
$I B, C$	Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode
$I T$	Kollektor-Emitter Transportstrom
$I D, S$	Strom der Substrat-Diode

$R B$	Basiswiderstand
$R C$	Kollektorbahnwiderstand
$R E$	Emitterwiderstand

$C S, E$	Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode
$C S, C i$	Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C S, C e$	Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C S, S$	Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode
$C D, N$	Diffusionskapazität der Emitter-Diode
$C D, I$	Diffusionskapazität der Kollektor-Diode

Statisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$I S$	Sättigungssperrstrom
$I S, S$	Sättigungssperrstrom der Substrat-Diode
$B N$	Ideale Stromverstärkung im Normalbetrieb
$B N$	Ideale Stromverstärkung im Inversbetrieb

$I S, E$	Leck-Sättigungssperrstrom der Emitter-Diode
$I S, C$	Leck-Sättigungssperrstrom der Kollektor-Diode
$n E$	Emissionskoeffizient der Emitter-Diode
$n C$	Emissionskoeffizient der Kollektor-Diode

$I K, N$	Kniestrom zur starken Injektion im Normalbetrieb
$I K, I$	Kniestrom zur starken Injektion im Inversbetrieb

$U A, N$	Early-Spannung im Normalbetrieb
$U A, I$	Early-Spannung im Inversbetrieb

$R B e$	Externer Bahnwiderstand
$R B i$	Interner Bahnwiderstand^1)</sub>
1) wird in PSpice aus der Gleichung $R B = R B e + R B i$ berechnet.

Dynamisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$C S 0, E$	Null-Kapazität der Emitter-Diode
$C S 0, C$	Null-Kapazität der Kollektor-Diode
$C S 0, S$	Null-Kapazität der Substrat-Diode
$U diff, E$	Diffusionsspannung der Emitter-Diode
$U diff, C$	Diffusionsspannung der Kollektor-Diode
$U diff, S$	Diffusionsspannung der Substrat-Diode
$m S, E$	Kapazitätskoeffizient der Emitter-Diode
$m S, C$	Kapazitätskoeffizient der Kollektor-Diode
$m S, S$	Kapazitätskoeffizient der Substrat-Diode

$x C S C$	Aufteilungskoeffizient der Kapazität in der Kollektor-Diode
$f S$	Koeffizient für den Kapazitätsverlauf

$τ 0, N$	Ideale Transitzeit im Normalbetrieb
$τ 0, I$	Ideale Transitzeit im Inversbetrieb
$x τ, N$	Transitzeitkoeffizient im Normalbetrieb
$x τ, I$	Transitzeitkoeffizient im Inversbetrieb
$U τ, N$	Transitzeitspannung im Normalbetrieb
$U τ, I$	Transitzeitspannung im Inversbetrieb
$U τ, N$	Transitzeitstrom im Normalbetrieb
$U τ, I$	Transitzeitstrom im Inversbetrieb

Thermisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$x T, I$	Temperaturkoeffizient der Sperrströme
$x T . B$	Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung

Englische Bezeichnung

Da Datenblätter meist in englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:

Deutsch		Englisch
Bezeichnung	Zeichen	Bezeichnung	Zeichen
Spannung	U	voltage	V
Normalbetrieb	N	forward region	F
Inversbetrieb	I	inverse region	R
Sperrschicht	S	junction	J

Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.

Modelle für das statische Verhalten

Ebers-Moll-Modell

Bild:Ebers-Moll-Model.svg

Ebers-Moll-Modell eines npn-Transistors

Das Ebers-Moll-Modell ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll-Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.

Ein npn-Transistor besteht aus zwei antiseriellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll-Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Für den pnp-Transistor werden einfach die Vorzeichen umgedreht.

Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb $A_N \approx 0{,}98 \dots 0{,}998$ sowie den Inversbetrieb $A_I \approx 0{,}5 \dots 0{,}9$ verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau eines realen npn-Transistors zu berücksichtigen.

$I_{D,N} = I_{S,N} \, \left( e^{\frac{U_{BE}}{U_T} } - 1 \right)$

$I_{D,I} = I_{S,I} \, \left( e^{\frac{U_{BC}}{U_T} } - 1 \right)$

$I_C = A_N \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) - I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} -1 \right)$

$I_E = - I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + A_I \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_B = \left( 1 - A_N \right) \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \left( 1 - A_I \right) \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da $U B C < 0$ und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch -1 ersetzt werden, da $U_{BE} \gg U_T$ ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Geichung auf die selbe Weise erhält.

Reduzierte Ebers-Moll-Modelle für den npn-Transistor
Normalbetrieb	Inversbetrieb
Bild:Ebers-Moll-Model (reduced, forward region).svg	Bild:Ebers-Moll-Model (reduced, inverse region).svg
$I_C = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ $I_E = - \frac{1}{A_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ $I_B = - \frac{1 - A_N}{A_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} = \frac{1}{B_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ mit $A_N = - \frac{I_C}{I_E} \approx 0{,}98 \dots 0{,}998$ $B_N = \frac{A_N}{1 - A_N} = - \frac{I_C}{I_B} \approx 50 \dots 500$	$I_C = I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ $I_E = - \frac{1}{A_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ $I_B = - \frac{1 - A_I}{A_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T} = \frac{1}{B_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ mit $A_I = - \frac{I_E}{I_C} \approx 0{,}5\dots 0{,}9$ $B_I = \frac{A_I}{1 - A_I} = - \frac{I_E}{I_B} \approx 1 \dots 10$

Ebers-Moll-Modell im Sättigungsbetrieb

Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hierbei ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE,sat}(I_B,\,I_C)$ interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung

$U_{CE,sat}(I_B,\,I_C) = U_T \, \ln\frac{B_N \, \left( 1 + B_I \right) \, \left( B_I \, I_B + I_C \right)}{ B_I^2 \, \left( B_N \, I_B - I_C \right) }$

Bei $0 < I_C < B_N\, I_B$ gilt $U_{CE,sat} \approx 20 \dots 200 \,\mathrm{mV}$ . Das Minimum erhält man bei $I C = 0$ :

$U_{CE,sat} \left( I_C = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) = - U_T \, \ln A_I$

Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit $I E = 0$ :

$U_{EC,sat} \left( I_E = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_N} \right) = - U_T \, \ln A_N$

Da $A I < A N < 1$ gilt $U E C, s a t (I E = 0) < U C E, s a t (I C = 0)$ . Dabei gilt üblicherweise $U_{CE,sat}(IC = 0) \approx 2\dots 20\,\mathrm{mV}$ und $U_{EC,sat}(I_E = 0) \approx 0{,}05 \dots 0{,}5\,\mathrm{mV}$ .

Transportmodell

Bild:Transportmodel of Bipolartransistor.svg

Transportmodell eines npn-Transistors

Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll-Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Die Emitter und Kollektor-Diode wird dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom $I T$ getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:

$I_{B,N} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right)$

$I_{B,I} = \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_B = I_{B,N} + I_{B,I} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_T = B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I} = I_S \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)$

$I_C = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BE}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) \, e^\frac{U_{BC}}{U_T} + \frac{1}{B_I} \right]$

$I_E = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BC}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + \frac{1}{B_N} \right]$

Bild:Transportmodel of Bipolartransistor (forward region).svg

Vereinfachtes Transportmodell für den Normalbetrieb eines npn-Transistors

Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:

$I_C = B_N \, I_B = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$

$I_B = \frac{I_C}{B_N} = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$

$I_E = - \left( I_C + I_B \right) = - \left( 1 + B_N \right) \, I_B$

Modellierung statischer Effekte im Transportmodell

Bild:Extended Transportmodel of Bipolartransistor.svg

Erweitertes Transportmodell eines npn-Transistors

Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Hierbei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen:

Leckströme
Hochstromeffekt
Early-Effekt

Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenhänge:

I B = I B, N + I B, I + I B, E + I B, C

$I_C = \frac{B_N}{q_B} \, I_{B,N} - \left( \frac{B_I}{q_B} + 1 \right) \, I_{B,I} - I_{B,C}$

$I_E = - \left( \frac{B_N}{q_B} + 1 \right) \, I_B,N + \frac{B_I}{q_B} \, I_{B,I} - I_{BE}$

was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.

Leckströme

Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt wird werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Dies wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme $I S, E$ und $I S, C$ , sowie über die Emmissionskoeffizienten $n_E \approx 1,5$ und $n_C \approx 2$ beschrieben.

$I_{B,E} = I_{S,E} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T} - 1 \right)$

$I_{B,E} = I_{S,C} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{n_C \, U_T} - 1 \right)$

Hochstrom- und Early-Effekt

Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.

Zusätzlich beeinflussen die Spannungen $U B E$ und $U B C$ die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom $I T$ aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.

Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die dimensionslose Größe $q B$ dargestellt.

$I_T = \frac{B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I}}{q_B} = \frac{I_S}{q_B} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)$

$q B$ ist hierbei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts $q Early$ und der Größe des Hochstromeffektes $q Hoch$ zusammen:

$q_B = \frac{q_{\rm Early}}{2} \, \left( 1 + \sqrt{1 + 4\, q_{\rm Hoch}} \right)$

$q_{\rm Early} = \frac{1}{1 - \frac{U_{BE}}{U_{A,I}} - \frac{U_{BC}}{U_{A,N}}}$

$q_{\rm Hoch} = \frac{I_S}{I_{K,N}} \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{I_{K,I}} \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

Hierbei sind $U A, N$ und $U A, I$ die Early-Spannungen mit $U_A \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}$ . $I K, N$ und $I K, I$ sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).

Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb

Bild:Gummel-Plot Early- und Hochstromeffekt.svg

Gummel-Plot mit U_CE = konst.

Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors $q B$ besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:

$I_C = \frac{B_N \, I_{B,N}}{q_B} = \frac{I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}}{q_B}$

Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen $I C < I K, N$ gilt $q_{\rm Hoch} \ll 1$ und somit $q_B \approx q_{Early}$ . Zusätzlich gilt

$U_{BC} = U_{BE} - U_{CS} \approx -U_{CE}$

da $U_{BE} \approx 0{,}6 \dots 0{,}8 \, \mathrm{V}$ . Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:

$q_{\rm Early} \approx \frac{1}{1+ \frac{U_{CE}}{U_{A,N}}}$

und durch Einsetzen in $I C$ erhält man:

$I_C \approx I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Bei großen Strömen $I_C \to \infin$ ist $q_{\rm Hoch} \gg 1$ und somit $q_B \approx q_{\rm Early} \, \sqrt{q_{\rm Hoch}}$ . Durch Einetzen erhält man:

$I_C \approx \sqrt{I_S \, I_{K,N}} \, e^\frac{U_{BE}}{2\, U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für $I B$ die Gleichung

$I_B = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + I_{S,E}\, e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T}$

Stromverstärkung

Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang

$B = \frac{I_C}{I_B} = \frac{B_N}{q_B + B_N \, \left( \frac{q_B}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E} \, I_{S,E} \, I_C^{\frac{1}{n_E}-1}}$

Zudem ist die Stromverstärkung B von U_BE und U_CE abhängig, da auch I_C und q_B von diesen Spannungen abhängig sind.

Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:

1. Leckstrombereich

Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil I_B,E im Basisstrom I_B. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung $I_B \approx I_{B,E}$ und $q_B \approx q_1$ . Daraus ergibt sich die Vereinfachung:

$B \approx \frac{I_C^{1-\frac{1}{n_E}}}{I_{S,E} \, \left( \frac{q_1}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E}} \sim I_C^{1-\frac{1}{n_E}} \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^\frac{1}{n_E}$

Mit $n_E \approx 1{,}5$ erhält man $B \sim I_C^\frac{1}{3}$ . Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom

I C

ebenfalls größer.

2. Normalbereich

Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung $I_B \approx I_{B,N}$ und daraus folgend:

$B \approx B_N \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von

I C

, für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.

3. Hochstrombereich

Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang $I_B \approx I_{B,N}$ erhält man den Zusammenhang:

$B \approx \frac{B_N}{q_B} \approx B_N \, \frac{I_{K,N}}{I_C} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^2$

Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu I_C, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.

Bild:Stromverstärkung vs Kollektorstrom.svg

Abhängigkeit der Verstärkung B vom Kollektorstrom I_C in doppellogarithmischer Darstellung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung U_CE

Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit B_max(U_CE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom I_K,N und kleinem Leckstrom I_S,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt B_max(U_CE) = B_0,max = B_N, wobei B_0,max bei U_CE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < B_N gilt.

Bahnwiderstände

Bild:Transportation model with Bulk Resistors.svg

Um Bahnwiderstände erweitertes Transportmodell

Bild:Bulk Resistors in Bipolar-Transistor.svg

Lage der Bahnwiderstände im Halbleiter des Bipolartransistors

Da das Halbleitermaterial für den elektrischen Strom einen Widerstand darstellt, muss dieser Widerstand in Form der Bahnwiderstände dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Emitterbahnwiderstand R_E, dem Kollektorbahnwiderstand R_C und dem Basisbahnwiderstand R_B.

Emitterbahnwiderstand: Aufgrund der starken Dotierung und des geringen Längen-zu-Querschnitt-Verhältnisses des Emitters hat R_E nur einen kleinen Betrag. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_E etwa 0,1 Ω bis 1 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,01 Ω bis 0,1 Ω.

Kollektorbahnwiderstand: Der Kollektorbahnwiderstand wird vor allem durch die schwach dotierte Kollektorzone verursacht. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_C etwa 1 Ω bis 10 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,1 Ω bis 1 Ω.

Basiswiderstand

Der Baisiswiderstand wird aus dem externen Basiswiderstand R_Be und dem internen Basiswiderstand R_Bi gebildet. Der externe Basiswiderstand tritt hierbei zwischen dem Kontakt der Basis und der aktiven Basiszone auf, während der interne Basiswiderstand quer in der aktiven Basiszone zwischen Emitter und Kollektor auftritt. Bei großen Strömen hat der interne Basiswiderstand nur begrenzt Einfluss, da sich der Strom aufgrund der Stromverdrängung an der Basiszone konzentriert. Zusätzlich wirkt der Early-Effekt, der die Dicke der Basiszone beeinflusst. Diese Effekte werden in der Konstante q_B zusammengefasst.

Der Basiswiderstand ergibt sich folglich aus:

$R_B = R_{Be} + \frac{R_{Bi}}{q_B}$

Für den Normalbetrieb folgt durch Auflösen von q_B:

$R_{B} = \begin{cases} R_{Be} + R_{Bi} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right) & {\rm wenn} \quad I_{C} < I_{K,N} \\ R_{Be} & {\rm wenn} \quad I_{C} \to \infty \end{cases}$

Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_Be etwa 10 Ω bis 100 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 1 Ω bis 10 Ω. R_Bi ist hierbei etwa drei- bis viermal so groß wie R_Be.

Substrat-Diode

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Lateraler integrierter npn-Transistor

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Vertikaler integrierter npn-Transistor

Bei integrierten Transistoren ist bei vertikalen npn-Transistoren zwischen Substrat und Kollektor, sowie bei lateralen pnp-Transistoren zwischen Substrat und Basis, konstruktionsbedingt—wie in den nebenstehenden Abbildungen dargestellt—ein pn-Übergang: die sog. Substrat-Diode. Diese Substrat-Diode wird als herkömmliche pn-Diode üder die Shockley-Formel beschrieben. Hierbei wird für den Sättigungssperrstrom I_S der Sättigungssperrstrom der Substratdiode I_S,S eingesetzt:

$I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SB}}{U_T} - 1 \right)$ (lateral)

$I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SC}}{U_T} - 1 \right)$ (vertikal)

Da die Substrat-Diode üblicherweise nicht beschalten wird, ist keine Modellierung erforderlich. Bei (fehlerhafter) Beschaltung kann jedoch ein Strom fließen und muss in diesem Fall auch berücksichtigt werden.

Modellierung dynamischer Effekte im Transportmodell

Bei der Ansteuerung mit sinus- oder pulsförmigen Signalen muss auch das dynamische Verhalten des Transistors beachtet werden. Hierzu benötigt man, wie bei der Diode, die im Transistor auftretenden Sperr- und Diffusionskapazitäten.

Sperrschichtkapazitäten

Bei einem einzelnen Bipolartransistor treten zwei und bei integrierten Transistoren drei Sperrschichtkapazitäten auf. Die Emitterdiode ist hierbei durch die Emittersperrschichtkapazität $C_{S,E} \left( U_{B',E'} \right)$ charakterisiert. Die Kollektordiode wird durch die Kollektorsperrschichtkapazität $C C, E$ beschrieben, welche sich aus der internen Sperrschichtkapazität $C S, C i$ der aktiven Zone bei $B'$ und der externen Sperrschichtkapazität $C S, C e$ beim Basisanschluss $B$ zusammen. Die Anteile der internen und externen Sperrschichtkapazität an der Kollektorsperrschichtkapazität wird durch den Parameter $x C S C$ dargestellt:

C S, C = C S, C i + C S, C e

$C_{S,Ci} \left( U_{B'C'} \right) = x_{CSC} \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)$

$C_{S,Ce} \left( U_{B'C'} \right) = \left( 1 - x_{CSC} \right) \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)$

Bei Einzeltransistoren liegt der Faktor $x C S C$ meistens zwischen 0,5 und 1, was bedeutet, dass $C_{S,Ce} \le C_{S,Ci}$ ist. Bei integrierten Transistoren ist $x C S C < 0,5$ und damit $C S, C e > C S, C i$ .

Bei integrierten Transistoren tritt zusätzlich die Sperrschichtkapazität der Substratdiode $C S, S$ auf. Diese wirkt bei integrierten vertikalen npn-Transistoren am internen Kollektor $C'$ und bei integrierten lateralen npn-Transistoren an der internen Basis $B'$ . Daher gilt:

$C_{S,S} = C_{S,S} \left( U_{SC'} \right)$ (vertikal)

$C_{S,S} = C_{S,S} \left( U_{SB'} \right)$ (lateral)

Diffusionskapazitäten

Beim Transistor treten zwei Diffusionskapazitäten auf: die Diffusionskapazität der Emitterdiode $C D, N$ und die Diffusionskapazität der Kollektordiode $C D, I$ . In diesen werden die Emitterdiffusionsladung $Q D, N$ und die Kollektordiffusionsladung $Q D, I$ gespeichert. Die Diffusionsladungen ergeben sich aus dem Transportstrom $I T$ , welcher vom Kollektor zum Emitter fließt (siehe auch: Transportmodell).

$Q_{D,N} = \tau_N \, B_N \, I_{B,N} = \tau_N \, I_S \, \left( e^\frac{U_{B'E'}}{U_T} - 1 \right)$

$Q_{D,I} = \tau_N \, B_I \, I_{B,I} = \tau_I \, I_S \left( e^\frac{U_{B'C'}}{U_T} - 1 \right)$

Wobei die Zeitkonstanten $τ N$ und $τ I$ als Transit-Zeit bezeichnet werden. Durch Differentiation ergeben sich aus diesen Gleichungen die Diffusionskapazitäten:

$C_{D,N} \left( U_{B'E'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,N}}{\mathrm{d} \, U_{B',E'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',E'}}{U_T}$

$C_{D,I} \left( U_{B'C'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,I}}{\mathrm{d} \, U_{B',C'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',C'}}{U_T}$

Die Diffusionskapazitäten $C D, N$ und $C D, I$ treten parallel zu den Sperrschichtkapazitäten $C S, E$ und $C S, C i$ auf. Im Normalbetrieb ist die Kollektor-Diffusionskapazität $C D, I$ aufgrund der geringen inneren Basis-Kollektor-Spannung $U B', C'$ im Vergleich zur inneren Kollektor-Sperrschicht-Kapazität $C S, C i$ sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. $C D, I$ kann infolge der Vernachlässigung von $C D, I$ mit einer konstanten Transitzeit beschrieben werden, wodurch $τ N = τ 0, I$ angenommen wird.

Wenn der Transitstrom klein ist gilt $C D, N < C D, N$ , bei großem Transitstrom hingegen gilt $C D, N > C D, N$ . Um dies korrekt darstellen zu können muss $τ N$ in der Ersatzschaltung genau modelliert werden. Eine Zunahme von $τ N$ gei großen Strömen wirkt sich als Abnahme der Grenzfrequenzen und der Schaltgeschwindigkeit des Transistors aus.

Aufgrund des Hochstromeffektes nimmt die Diffusionsladung überproportional zu. Die Transitzeit ist daher nicht konstant und nimmt mit steigendem Strom zu. Der Early-Effekt wirkt sich ebenfalls aus, da dieser die effektive Dicke der der Basiszone und damit die in der Basiszone gespeicherte Ladung verändert. Da jedoch mit den Parametern $I K, N$ und $U A, N$ keine präzise Beschreibung möglich ist, wird eine empirisch bestimmte Gleichung zur Beschreibung verwendet:

$\tau_N = \tau_{0,N} \, \left[ 1 + x_{\tau,N} \, \left( 3\,x^2 - 2\,x^3 \right) \, 2^\frac{U_{B'C'}}{U_{\tau,N}} \right]$

wobei der Faktor x für das Polynom über die folgende Gleichung definiert ist:

$x = \frac{B_N \, I_{B,N}}{B_N \, I_{B,N} + I_{\tau,N}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau,N}}{B_N \, I_{B,N}}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau_N}}{I_S \, \left( e^{\frac{U_{B'E'}}{U_T}} - 1 \right)}}$

Zusätzlich ist $τ 0, N$ die ideale Transitzeit, $x_{\tau_N}$ der Koeffizient der Transitzeit, $I K, N$ der Transitzeit-Kniestrom und $U τ, N$ die Transitzeit-Spannung. Der Koeffizient der Transitzeit $x_{\tau_N}$ gibt hierbei an, wie stark $τ N$ bei $U_{B'C'} = 0\,\mathrm{V}$ zunehmen kann:

$\lim_{I_{B,B} \to\infty} \tau_N = \tau_{0,N} \,\left( 1 + x_{\tau,N} \right) \quad\forall{U_{B'C'}=0\,\mathrm{V}}$

Die Hälfte der maximalen Zunahme erhält man bei $I_{\tau,N} = B_N\, I_{B,N}$ :

$\tau_N = \tau_{0,N} \, \left( 1 + \frac{x_{\tau,N}}{2} \right) \quad\forall \left( B_N \, I_{B,N} = I_{\tau,N} \right) \land \left( U_{B'C'} = 0 \right)$

Daraus folgt, dass wenn die Spannung $U B' C'$ um den Betrag der Spannung $U τ, N$ sinkt, steigt $τ N$ nur noch mit der halben Geschwindigkeit. D.h. für $U_{B'C'} = - n\, U_{\tau,N}$ ist die Zunahme von $τ N$ um den Faktor $2 n$ kleiner.

Bild:Verlauf der Transitzeit eines Bipolartransistors.svg

Verlauf von $\frac{\tau_N}{\tau_{0,N}}$ in doppellogarithmischer Darstellung

Statisches Kleinsignalmodell

Das statische Kleinsignalmodell beschreibt das Kleinsignalverhalten bei niedrigen Frequenzen und wird deshalb auch als Gleichstrom-Kleinsignalersatzschaltbild bezeichnet.

Aus dem Gummel-Poon-Modell wird durch Linearisierung im Arbeitspunkt das lineare Kleinsignalmodell. Der Arbeitspunkt wird hierbei in einem Bereich gewählt, in dem der Transistor nach erfolger Dimensionierung arbeiten soll. Üblicherweise ist dies der Normalbetrieb, weshalb im Weiteren Modelle für den Normalbetrieb gezeigt werden. Nach dem selben Prinzipien kann man jedoch auch Modelle für die anderen Transistor-Betriebsarten erstellen.

Die Linearisierung des Gummel-Poon-Modells erfolgt, indem man die Kapazitäten weglässt – da diese bei Gleichstom nicht wirken – und die Sperrströme vernachlässigt – also I_B,I, I_B,C und I_D,S gleich Null setzt.

Bild:Statisches Kleinsignalmodell (nicht linearisiert).svg

Statisches Kleinsignalmodell durch Vernachlässigung von Kapazitäten und Sperrströmen im Gummel-Poon-Modell

Bild:Statisches Kleinsignalmodell (linearisiert).svg

Statisches Kleinsignalmodell nach der Linearisierung von I_B und I_C

Weiters werden die nichtlinearen Größen $I_B = I_{B,N}\left( U_{B'E'} \right) + I_{B,E} \left( U_{B'E'} \right)$ sowie $I_C = I_T \left( U_{B'E'},U_{C'E'} \right)$ im Arbeitspunkt A linearisiert:

$S = \frac{\part I_C}{\part U_{B'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_T} \, \left( 1 - \frac{U_T}{q_B} \, \frac{\part q_B}{\part U_{B'E'}} \right) \quad\forall{A}$

$\frac{1}{r_{BE}} = \frac{\part I_B}{\part U_{B'E'}} = \frac{I_S}{B_N \, U_T} \, e^\frac{U_{B'E',A}}{U_T} + \frac{I_{S,E}}{n_E \, U_T} \, \frac{U_{B'E',A}}{n_E\, U_T} \quad\forall{A}$

$\frac{1}{r_{CE}} = \frac{\part I_C}{\part U_{C'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_{A,N} + U_{C'E',A} - U_{B'E',A} \, \left( 1 + \frac{U_{A,N}}{U_{A,I}} \right)} \quad\forall{A}$

In der Praxis werden zur weiteren Vereinfachung auch die Bahnwiderstände nicht berücksichtigt. Daraus erhält man das vereinfachte statische Kleinsignalmodell. Bei einer zusätzlichen Vernachlässigung des Early-Effektes durch $r_{BE} \to \infty$ erhält man des Weiteren eine alternative Darstellungsart dieses vereinfachten Modells, welche durch Linearisierung aus dem vereinfachten statischen Kleinsignalmodell erstellt wird. Die alternative Darstellungsart ist aufgrund des vernachlässigten Early-Effekts jedoch nur Ausnahmefällen brauchbar, da die Berechnung anhand dieser Vereinfachung meist zu unbrauchbaren Ergebnissen führt. In der Literatur findet man zudem oft eine Darstellung mit einem zusätzlichen Widerstand zwischen Basis und Kollektor, der sich durch die Linearisierung der Kollektor-Basis-Diode aus dem Ebers-Moll-Modell ergibt, jedoch nicht zur Modellierung des Early-Effekts dient.

Bild:Vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell 1.svg

Vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell mit vernachlässigten Bahnwiderständen

Bild:Vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell 2.svg

Umgeformtes vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell unter zusätzlicher Vernachlässigung des Early-Effekts

Hierbei gelten die Gleichungen

$r_E = \frac{1}{S + \frac{1}{r_{BE}}} \approx \frac{1}{S}$

$\alpha = \frac{\beta}{1+\beta} = S \, r_{E}$

Modelle für das dynamische Verhalten

Gummel-Poon-Modell

Bild:Gummel-Poon-Modell.svg

Gummel-Poon-Modell eines npn-Bipolartransistors

Das Gummel-Poon-Modell ist das vollständige Modell eines Bipolar-Transistors und wird zur Schaltungssimulation – etwa in PSpice – verwendet. Es basiert auf dem Transportmodell und modelliert alle statischen und dynamischen Effekte in diesem.

Falls einige Werte im Datenblatt des Transistors nicht angegeben sind, werden (z. B. in PSpice) Standardwerte verwendet. In PSpice werden hierbei die folgenden Standardwerte verwendet:

Standardwerte des Gummel-Poon-Modell in PSpice
Parameter	I_S	B_N	B_I	n_E	n_C	x_T,I	f_S	U_diff,E, U_diff,C, U_diff,S	m_S,E, m_S,C	x_CSC	I_S,S, I_S,E, I_S,C, R_B, R_C, R_E, C_S0,E, C_S0,C, C_S0,S, τ_0,N, τ_0,I, x_τ,N, x_T,B, m_S,S, I_τ,N	I_K,N, I_K,I, U_A,N, U_A,I, U_τ,N
Standardwert	10^-16 A	100	1	1,5	2	3	0,5	0,75 V	333·10^-3	1	0	∞

Hierbei bedeutet ein Standardwert von 0 oder ∞, dass der entsprechende Parameter so gesetzt wird, dass dieser Parameter keinen Einfluss auf die Berechnung hat und auf diese Weise nicht modelliert wird.

Werte für das Gummel-Poon-Modell ausgewählter Einzeltransistoren
Parameter	PSpice- Bezeichnung	BC547B	BC557B	BUV47	BFR92P
I_S	IS	7 fA	1 fA	974 fA	0,12 fA
B_N	BF	375	307	95	95
B_I	BR	1³⁾	6,5	20,9	10,7
I_S,E	ISE	68 fA	10,7 fA	2,57 pA	130 fA
n_E	NE	1,58	1,76	1,2	1,9
I_K,N	IKF	82 mA	92 mA	15,7 A	160 mA
U_A,N	VAF	63 V	52 V	100 V	30 V
R_Be	RBM	10 Ω¹⁾	10 Ω¹⁾	100 mΩ¹⁾	6,2 Ω
R_Bi²⁾	—	0¹⁾	0¹⁾	0¹⁾	7,8 Ω
—	RB²⁾	10 Ω¹⁾	10 Ω¹⁾	100 mΩ¹⁾	15 Ω
R_C	RC	1 Ω	1,1 Ω	35 mΩ	140 mΩ
C_S0,E	CJE	11,5 pF	30 pF	1,093 nF	1 fF
U_diff,E	VJE	500 mV	500 mV	500 mV	710 mV
m_S,E	MJE	672·10^-3	333·10^-3 ³⁾	333·10^-3 ³⁾	347·10^-3
C_S0,C	CJC	5,25 pF	9,8 pF	364 pF	649 fF
U_diff,C	VJC	570 mV	490 mV	500 mV	850 mV
m_S,C	MJC	315·10^-3	332·10^-3	333·10^-3 ³⁾	401·10^-3
x_CSC	XCJC	1³⁾	1³⁾	1³⁾	130·10^-3
f_S	FC	500·10^-3 ³⁾	500·10^-3 ³⁾	500·10^-3 ³⁾	500·10^-3 ³⁾
τ_0,N	TF	410 ps	612 ps	51,5 ns	27 ps
x_τ,N	XTF	40	26	205	380·10^-3
U_τ,N	VTF	10 V	10 V	10 V	330 mV
I_τ,N	ITF	1,49 A	1,37 A	100 A	4 mA
τ_0,I	TR	10 ns	10 ns	988 ns	1,27 ns
x_T,I	XTI	3³⁾	3³⁾	3³⁾	3³⁾
x_T,B	XTB	1,5	1,5	1,5	1,5
1) Wert nur allgemein angegeben. Bei hohen Frequenzen kommt es zu Ungenauigkeiten. Dies wird im Transistorrauschen berücksichtigt. Andernfalls müsste der korrekte Wert durch Messung am einzelnen Bauteil ermittelt werden. 2) R_Bi wird in PSpice nicht explizit angegeben. Stattdessen wird RB mit RB = RBM + R_Bi = R_Be + R_Bi angegeben. 3) entspricht dem Standardwert

Zudem werden in PSpice einige weitere Effekte berücksichtigt, die im Microsim: PSpice A/D Reference Manual beschrieben werden, wofür das in PSpice verwendete Modell entssprechend erweitert wurde.

Dynamisches Kleinsignalmodell

Wenn man das vollständige statische Kleinsignalmodell um die Sperrschicht- und Diffuionskapazitäten erweitert erhält man das dynamische Kleinsignalmodell:

Bild:Dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors.svg

Dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors

Die Emitterkapazität $C E$ setzt sich aus der Emitter-Sperrschicht-Kapazität $C S, E$ und der Diffusionskapazität für den Normalbetrieb $C D, N$ zusammen:

$C_E = C_{S,E} \left( U_{B'E',A} \right) + C_{D,N} \left( U_{B'E',A} \right)$

Die interne Kollektorkapazität $C C i$ entspricht der internen Kollekor-Sperrschicht-Kapazität, da die interne Diffusionskapazität $C D, I$ wegen $U_{BC} \le 0$ vernachlässigbar klein ist:

$C_{Ci} = C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right) + C_{D,I} \left( U_{B'C',A} \right) \approx C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right)$

Die externe Kollektorkapazität $C C e$ und die Substratkapazität $C S$ entsprechen den jeweiligen Sperrschichtkapazitäten, wobei die Substratkapazität naturgemäß nur bei integrierten Transistoren zu finden ist:

$C_{Ce} = C_{S,Ce} \left( U_{BC',A} \right)$

$C_S = C_{S,C} \left( U_{SC',A} \right)$

In der Praxis werden der Emitterwiderstand $R E$ und der Kollektorwiderstand $R C$ meist vernachlässigt, während der Basiswiderstand $R B$ nur in Ausnahmefällen vernachlässigt werden kann, da der Basiswiderstand einen starken Einfluss auf das dynamische Verhalten hat. Zudem wird in der Praxis die interne und externe Kollektorkapazität – ausgenommen bei integrierten Transistoren mit einer überwiegend externen Kollektorkapazität – als interne Kollektorkapazität $C C$ zusammengefasst. Hieraus erhält man das vereinfachte dynamische Kleinsignalmodell:

Bild:Vereinfachtes dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors.svg

Vereinfachtes dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors

Grenzfrequenz im Kleinsignalbetrieb

Mit Hilfe des Kleinsignalmodells kann man die Frequenzgänge der Kleinsignalstromvertärkungen $α$ und $β$ , sowie der Transmittanz $\mathbf{Y}_{21,e}$ , rechnerisch ermitteln. Die jeweiligen Grenzfrequenzen $f α$ , $f β$ , $f Y 21 e$ , sowie die Transitfrequenz $f T$ stellen ein Maß für die Schaltgeschwindigkeit und Bandbreite des Transistors dar. Hierbei gilt der Zusammenhang

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\lessapprox): f_\beta < f_{Y21e} < F_T \lessapprox f_\alpha

Wird der Transistor in Emitterschaltung mit einer Stromquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand $R i$ von $R_i \ll r_{BE}$ –betrieben, spricht man von einer Stromsteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die β-Grenzfrequenz $f β$ nach oben begrenzt.

Wird der Transistor hingegen in Emitterschaltung mit einer Spannungsquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand $R i$ von $R_i \gg r_{BE}$ –betrieben, spricht man von Spannungssteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die Steilheitsgrenzfrequenz $f Y 21 e$ nach oben begrenzt.

Daraus folgt, dass man bei Spannungssteuerung eine höhere Grenzfrequenz und damit Bandbreite erreichen kann. Dies gilt auch für die Kollektorschaltung. Die größte Bandbreite erreicht jedoch die Basisschaltung bei der allgemein die Bedingung $R i > r E$ gilt und damit eine Stromsteuerung vorliegt und die Bandbreite durch die α-Grenzfrequenz $f α$ nach oben begrenzt wird.

Die Bandbreite der Schaltung ist zusätzlich vom Arbeitspunkt abhängig. In Emitterschaltung mit Stromsteuerung und bei der Basisschaltung erhält man die maximale Bandbreite, indem man den Kollektorstrom $I C, A$ so einstellt, dass die Transitfrequenz den maximalen Wert erreicht. Bei der Emitterschaltung mit Spannungssteuerung besteht ein komplizierterer Zusammenhang, da zwar die Steilheitsfrequenz $f Y 21 e$ mit steigendem Kollektorstrom $I C, A$ abnimmt, aber gleichzeitig die Schaltung der Kollektorschaltung niederohmiger wird und dadurch die ausgangsseitige Bandbreite der Schaltung erhöht wird.

Bild:Abhängigkeit der Transitfrequenz eines Transistors vom Kollektorstrom.svg

Abhängigkeit der Transitfrequenz eines Transistors vom Kollektorstrom

Die Transitfrequenz $f T$ und die Ausgangskapazität in Basisschaltung $C o b o$ (output, grounded base, open emitter) wird im Datenblatt des Transistors angegeben. Hierbei entspricht $C o b o$ der Kollektor-Basis-Kapazität $C C B$ . Hieraus ergibt sich:

$C_C \approx C_{obo}$

$C_E \approx \frac{S}{\omega_T} - C_{obo}$

Bild:Betragsfrequenzgänge für Bipolartransistor.svg

Betragsfrequenzgänge für $\left| \underline{\alpha}\left( j \, \omega \right) \right|$ und $\left| \underline{\beta}\left( j \, \omega \right) \right|$

Frequenzgang von β
Transitfrequenz f_T
Frequenzgang von α
Frequenzgang von y_21,e

Literatur

Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer 2002, 12. Auflage, ISBN 3540428496
Paul R. Gray, Paul J. Hurst, Stephen H. Lewis, Robert G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Wiley 2001, ISBN 0471321680
Simon M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley 1981, ISBN 0471056618
Hans-Martin Rein, Roland Ranfft, Integrierte Bipolarschaltungen, Springer, ISBN 3540096078
Giuseppe Massobrio, Paolo Antognetti, Semicondurctor Device Modelling with SPICE, McGraw-Hill Professional 1998, ISBN 0071349553

Siehe auch

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