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Erdös-Strauss-Vermutung

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In der Zahlentheorie besagt die Erdös-Strauss-Vermutung (nach den Mathematikern Paul Erdös und Strauss), dass zu der Gleichung $\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ für jedes natürliche $n > 1\$ eine Lösung existiert, wobei $a, b\$ und $c\$ natürliche Zahlen sind.

geometrische Formulierung der Vermutung

Die Erdös-Strauss-Vermutung besagt, dass es für jedes natürliche $n > 1\$ einen Quader mit den Kantenlängen von $a\$ , $b\$ und $c\$ Längeneinheiten ( $a\$ , $b\$ und $c\$ natürliche Zahlen) gibt, so dass dessen 8-faches Volumen geteilt durch dessen Oberfläche den Wert von $n\$ Längeneinheiten ergibt.

Beispiel

Eine Lösung für $n = 8\$ ist $\frac{4}{8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{24}$ .

Für alle $n\$ mit $1 < n \le 10^{14}$ wurde eine Lösung gefunden.

Mini Erdös-Strauss-Vermutung

Eine Variante der Erdös-Strauss-Vermutung ist die Mini Erdös-Strauss-Vermutung, die besagt, dass zu der Gleichung $\frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ für jedes natürliche $n > 1\$ eine Lösung mit natürlichen $a\$ und $b\$ existiert.

Diese Vermutung ist falsch, da für die Gleichung $\frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ genau dann keine Lösung für natürliche $a\$ und $b\$ existiert, wenn alle Primfaktoren von $n\$ die Form $6k+1\$ haben.