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Erdös-Moser-Gleichung
Aus Kefk.
Die Erdös-Moser-Gleichung aus der Zahlentheorie ähnelt dem großen Fermatschen Satz und lautet
- 1n + 2n + ... + mn = (m + 1)n
mit 
und 
.
Für n = 0 ist die einzige Lösung m = 1 und für n = 1 ist die einzige Lösung m = 2. Weitere Lösungen sind nicht bekannt.
Die Vermutung
Der Mathematiker Erdös vermutete, dass für die Gleichung keine weiteren Lösungen als die beiden oben angegebenen existieren.
Im Jahr 1932 zeigte Leo Moser, dass im Fall 
für eine Lösung der Gleichung 
gelten muss. Er benutzte dazu Methoden der analytischen Zahlentheorie und kam ohne größere arithmetische Rechnungen aus. Durch massiven Rechnereinsatz konnten im Jahr 1999 bestimmte Zahlen genau berechnet werden, die Moser in seinem Beweis nur grob abgeschätzt hatte. Damit verbesserte sich die Schranke auf 
.
Der Fall n=1
Für n=1 sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
- 1 + 2 + ... + m = m + 1
Es gilt: 
. Damit ergibt sich:
Multiplikation der beiden Gleichungsseiten mit 2 liefert:
- m(m + 1) = 2(m + 1)
Die einzigen Lösungen dieser Gleichung sind m = − 1 und m = 2. Wegen bleibt nur die zweite Lösung übrig.
