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Hookesches Gesetz

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Das hookesche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung \varepsilon proportional zur einwirkenden mechanischen Spannung σ ist. Dieses Verhalten ist z.B. für Metalle typisch.

Inhaltsverzeichnis

Eindimensionaler Fall

Für einen prismatischen Körper der Länge l und der Querschnittsfläche A gilt demzufolge unter einachsiger Zug- oder Druckbelastung entlang der x-Achse:

\sigma_x = E \cdot \varepsilon_x

Die Proportionalitätskonstante E heißt Elastizitätsmodul. Mit

\sigma_x = \frac{F_x}{A}   und   \quad\varepsilon_x = \frac{\Delta l }{l}

ergibt sich die Darstellung

F_x = \frac{E \cdot A}{l} \cdot \Delta l\,.

Das hookesche Gesetz gilt für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation nennt man die Proportionalitätskonstante Federkonstante D, und der Zusammenhang zwischen der Federkraft F und der Längenänderung Δl kann dann in der einfachen Form

F = D \cdot \Delta l

dargestellt werden.

Die Verlängerung einer Feder durch eine Gewichtskraft G ist also proportional zu dieser: Nehmen wir z.B. an, eine Schraubenfeder dehnt sich um einen Zentimeter aus, wenn sie mit einer Kraft von 1 Newton belastet wird. Dann wird sie sich um 2 Zentimeter ausdehnen, wenn sie mit 2N belastet wird usw.

Diese Eigenschaft ist maßgeblich zum Beispiel für die Verwendung von Metallfedern als Kraftmesser und in Waagen. Bei anderen Materialien - wie zum Beispiel Gummi - ist der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft und Ausdehnung nicht proportional.

Das hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Molekülphysik Anwendung. Hierbei beschreibt die Federkonstante, die in diesem Fall Kraftkonstante genannt wird, die Stärke einer chemischen Bindung.

Verallgemeinertes hookesches Gesetz

Im allgemeinen Fall wird das hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) ausgedrückt:

\tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon,

mit dem Elastizitätstensor \tilde{\tilde C}, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor \tilde{\tilde C} 81 Komponenten C_{ijkl},\;i,j,k,l=1\ldots3 aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer 6\times6-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation):

\begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{pmatrix}.

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese 6\times6-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen C_{ij},\;i,j=1\ldots6 (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt:

\begin{matrix} &\epsilon_{xx}:=\varepsilon_x\,,\; \epsilon_{yy}:=\varepsilon_y\,,\; \epsilon_{zz}:=\varepsilon_z\,,\; \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}:=\sqrt{2}\gamma_{xy}\,,\\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}:=\sqrt{2}\gamma_{xz}\,,\; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}:=\sqrt{2}\gamma_{yz}\,, \end{matrix}

also

\mathbf\varepsilon^T=\left(\varepsilon_x\,,\;\varepsilon_y\,,\; \varepsilon_z\,,\;\sqrt{2}\gamma_{xy}\,,\;\sqrt{2}\gamma_{xz}\,,\; \sqrt{2}\gamma_{yz}\right)\,,

und analog

\mathbf\sigma^T=\left(\sigma_x\,,\;\sigma_y\,,\;\sigma_z\,,\; \sqrt{2}\tau_{xy}\,,\;\sqrt{2}\tau_{xz}\,,\;\sqrt{2}\tau_{yz}\right)\,.

Der Faktor \sqrt{2} ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung \tilde\sigma=\tilde{\tilde C}\tilde\varepsilon herzustellen. (Statt \sqrt{2} bei den Vektordarstellungen für sowohl Verzerrung als auch Spannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)

Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

\bar\varepsilon = L^{-1} \bar\sigma, mit
L^{-1} = \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 &-\nu &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &1 &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot & 1 &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu \end{bmatrix}, bzw.
L = \frac{E}{1+\nu} \begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &1&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&1&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&0&1 \end{bmatrix},

wobei E der Elastizitätsmodul (auch Youngsmodul) und ν die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

\varepsilon=\frac{1}{E}\sigma.

Relativistisch invariante Formulierung

Das hookesche Gesetz wird nahezu ausschließlich in seiner klassischen Formulierung verwendet. Eine relativistisch invariante Formulierung wurde von Gron Tudor Jones kurz nach der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie entwickelt. Motiviert wird dies durch das Bellsche Raumschiffparadoxon [1].

Literatur

Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Elastostatik), Springer Verlag, ISBN 3-540-64147-5

Siehe auch

Weblinks

Wikipedia
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