Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Einheitsmatrix

Aus Kefk.

In der linearen Algebra ist eine Einheitsmatrix (auch Identitätsmatrix genannt) eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus 1en besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung.

Beispiel:

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Die Einheitsmatrix ist das Einselement unter der Matrizenmultiplikation, d. h. die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix ergibt wieder Matrix A. Da Matrizen nur miteinander multipliziert werden können, wenn ihre Größen zueinander kompatibel sind, gibt es für jede Größe eine Einheitsmatrix. So ist die Einheitsmatrix der Größe n definiert als Diagonalmatrix mit 1 für alle Elemente der Hauptdiagonale.

Es ist definiert:

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Als Schreibweisen sind I_n (von engl. identity) und E_n (von Einheit) gebräuchlich. Falls aus dem Kontext die Dimension eindeutig hervorgeht, wird auch häufig auf den Index n verzichtet.

Die Komponenten der Einheitsmatrix lassen sich mit dem so genannten Kronecker-Delta

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } i=j\\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right.\quad\mbox{mit }i,j\in\{1,\ldots,n\}$

schreiben. Es ist

$E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ ,

oft einfach verkürzt zu

E = (δ i j) i, j

Die Spalten der Einheitsmatrix sind Einheitsvektoren.

Neutrales Element der Allgemeinen Linearen Gruppe

Für quadratische Matrizen ( $n \times n$ ) gilt bei Verknüpfung mit der Einheitsmatrix Kommutativität,d.h.:

$E \cdot A = A \cdot E = A$

Algebraisch liegt das daran, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe (Allgemeine lineare Gruppe) bildet, die $E$ als neutrales Element enthält. Außerdem existiert für jede Matrix $A$ die sogenannte inverse Matrix $A - 1$ und auch hier gilt die Kommutativität

$A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E$