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Einheitskugel

Unter der Einheitskugel versteht man in verschiedenen Bereichen der Mathematik die Kugel mit Radius 1 um den Koordinatenursprung.

Definition

Es sei $(X,\|{\cdot}\|)$ ein normierter Raum.

Man nennt

$B_X:=\{x\in X : \|x\|<1\}$

die offene Einheitskugel in $X$ und

$\overline{B_X}:=\{x\in X : \|x\|\leq1\}$

die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ .

Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X}$ ist genau dann kompakt, wenn $X$ endlichdimensional ist.

Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X}$ ist genau dann schwach kompakt, wenn $X$ reflexiv ist.

Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X^\prime}$ im topologischen Dual $X^\prime$ von $X$ ist immer schwach*-kompakt (Satz von Alaoglu).

Das Volumen einer n-dimensionalen (euklidischen) Einheitskugel ist $V=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ . Hierbei ist $Γ$ die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät.

Siehe auch: offene Kugel