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Einheit (Mathematik)

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In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem kommutativen unitären Ring (Ring mit 1) (R,+,\cdot,0,1) jeden Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn es also a, b aus R gibt mit a\cdot b=1, so sind a und b beide Einheiten. In diesem Fall heißt b das zu a inverse Element, und a das zu b inverse.

Die Menge der Einheiten

R^* := \{ x \in R \,|\, \exists y \in R : x \cdot y = 1 \}

ist mit der Multiplikation eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe von R.

Beispiele

  • 1 ist immer eine Einheit (weil 1 · 1 = 1).
  • 0 ist nie eine Einheit (außer für 1 = 0, aber dann hat der Ring nur dieses eine Element und ist uninteressant.)
  • In einem Körper ist R* = R \ {0}, also ist außer der 0 jedes Element eine Einheit.
  • Im Ring \Bbb Z der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und −1.
  • Im Ring \Bbb Z[\mathrm{i}] der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1, −1, i, −i.

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ, dann benötigt man Begriffe für einseitige Einheiten.

  • Ein Element a, das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Linkseinheit.
  • Ein Element a, das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Rechtseinheit.
  • Ein Element a heißt Einheit, falls es Elemente b und c gibt mit ab = 1 und ca = 1.

Ein Element a\in R ist also genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Ring stimmen die drei Begriffe überein.

Ist a eine Einheit, dann folgt aus b = 1b = cab = c1 = c, dass die einseitigen Inversen b und c eindeutig bestimmt sind und übereinstimmen, das Inverse von a ist also eindeutig bestimmt und wird meist mit a − 1 bezeichnet.

Beispiel

Es gibt den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrix-Addition und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0&0&\\ 0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\ 0 & 0 & 0 &1&0&\\ 0&0&0&0&1&\\ &\vdots&&&\ddots&\ddots \end{pmatrix}

B sei die Transponierte AT von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB = E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D1,1 eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD = 0 und DB = 0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.

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