Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Ebene (Mathematik)

Aus Kefk.

Wechseln zu: Navigation, Suche
[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: convert: unable to open image `/var/www/kefk/w/images/6/6a/Koordinatenebenen.png': No such file or directory.
Die 3 Koordinatenebenen

Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie. Allgemein handelt es sich um eine unendlich ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

Hierbei bedeutet unendlich ausgedehnt und flach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese verlaufende Gerade komplett in der Ebene liegt. Zweidimensional bedeutet, dass - abgesehen von enthaltenen Geraden - kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigenschaft hat.

Konkreter bezeichnet man mit Ebene je nach Teilgebiet der Mathematik allerdings durchaus verschiedene Objekte.

Ebene als eigenständiges Objekt

In der klassischen Geometrie etwa im Sinne von Euklids Elementen bildet die (euklidische) Ebene - in diesem Zusammenhang üblicherweise mit dem bestimmten Artikel bezeichnet - den Rahmen geometrischer Untersuchungen, etwa für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Man kann sie sich vorstellen als Abstraktion der Zeichenebene (Papier) als unendlich ausgedehnt und unendlich flach, so wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist. Die euklidische Geometrie wird heutzutage durch Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie beschrieben.

Ergänzt man Euklids affine Ebene um eine unendlich ferne Gerade und auf ihr liegende unendlich ferne Punkte, erhält man eine projektive Ebene.

Bild:Fano plane.svg Bild:4punktsmodell.svg Schwächt man das Hilbertschen Axiomensystem ab, so sind sogar endliche Strukturen möglich, die auch als affine oder projektive Ebene bezeichnet werden. Die Abbildung rechts zeigt eine endliche projektive Ebene mit sieben Punkten und sieben Geraden. Durch Entfernen einer beliebigen Gerade und der auf ihr liegenden Punkte erhält man eine endliche affine Ebene mit vier Punkten und sechs Geraden.

Seit Descartes die euklidische Ebene mit Koordinaten versehen hat, kann man die Euklidische Ebene identifizieren mit der Menge \mathbb R^2 aller Paare reeller Zahlen. Oder andersherum: \mathbb R^2 bildet ein Modell für die Hilbertschen Axiome der Ebene. Dieser reelle Vektorraum wird daher ebenfalls als Ebene bezeichnet. Auch die projektive Ebene lässt sich algebraisch beschreiben, nämlich als die Menge aller eindimensionalen Unterräume im \mathbb R^3. Man fasst also die durch den Ursprung verlaufenden Geraden als Punkte der projektiven Ebene auf. Die Geraden der projektiven Ebene sind dann genau die zweidimensionalen Untervektorräume von \mathbb R^3, also die durch den Ursprung verlaufenden „herkömmlichen“ Ebenen.

In Verallgemeinerung hiervon wird auch für beliebige Körper K der zweidimensionale Vektorraum K2 als affine Ebene bezeichnet; entsprechend für die projektive Ebene. Man beachte: Ist K der Körper \mathbb C der komplexen Zahlen, die ja durch die Gaußsche Zahlenebene veranschaulicht werden, so ist bereits \mathbb C (reell) zweidimensional, wird aber als komplexe Gerade bezeichnet. Die Ebene \mathbb C^2 ist reell vierdimensional, aber nur ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum. Der Körper K kann auch ein endlicher Körper sein. Im Fall K=\mathbb F_2 erhält man die oben beschriebene kleinste endliche affine Ebene mit vier Punkten bzw. die projektive Ebene mit sieben Punkten.

Ebene als Teilraum

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: convert: unable to open image `/var/www/kefk/w/images/7/7b/PlaneIntersection.png': No such file or directory.
Zwei sich schneidende Ebenen

Betrachtet man höherdimensionale geometrische Räume, so bezeichnet man jeden Teilraum, der isomorph zu einer Ebene im obigen Sinne ist, als eine Ebene. In einem dreidimensionalen Euklidischen Raum ist eine Ebene dabei festgelegt durch

  • drei nicht kollineare Punkte
  • eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt
  • zwei sich schneidende Geraden oder
  • zwei parallele Geraden

Liegen zwei Geraden windschief zueinander, so liegen sie dagegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Stattdessen gibt es dann zwei parallele Ebenen, deren jede je eine der Geraden enthält.

Zwei verschiedene Ebenen sind entweder parallel oder schneiden sich in einer Geraden, sie können im (dreidimensionalen) Raum also nicht windschief zueinander liegen. Im ersten Fall ist jede zur ersten Ebene senkrechte Gerade auch senkrecht zur zweiten. Die Länge der Strecke, die die Ebenen auf solch einer Geraden begrenzen, bezeichnet man als den Abstand der Ebenen. Im zweiten Fall betrachtet man eine zur Schnittgeraden senkrechte Ebene. Mit dieser schneiden sich die beiden ersten Ebenen in zwei Geraden. Den Winkel zwischen diesen Geraden bezeichnet man als Winkel zwischen den beiden Ebenen.

Nach Einführung von kartesischen Koordinaten bildet nicht nur jeder zweidimensionale Untervektorraum von \mathbb R^n (bzw. Kn) eine Ebene, sondern auch Translate hiervon, die den Ursprung nicht enthalten, das sind die affinen zweidimensionalen Unterräume.

Siehe auch

Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Ebene_%28Mathematik%29, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://www.kefk.org/wiki/Ebene_%28Mathematik%29“
Persönliche Werkzeuge