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Dualität (Mathematik)

Aus Kefk.

In vielen Bereichen der Mathematik gibt es die folgende Situation: zu jedem Objekt $X$ der jeweils betrachteten Klasse gibt es ein duales Objekt $Y = X'$ , dessen duales Objekt $Y' = (X')'$ wiederum $X$ ist oder zumindest $X$ sehr nahe kommt. Häufig gibt es auch noch eine Verbindung zwischen $X$ und $Y$ , die die Beziehung zwischen ihnen näher beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Geometrie: duales Polyeder
- 1.1 Dualer Graph
2 Lineare Algebra: Dualraum eines Vektorraumes
3 Funktionalanalysis: Dualraum eines Banachraumes
4 Mengenlehre: Komplementbildung
5 Lineare Optimierung: Duales Problem

Geometrie: duales Polyeder

Wählt man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines konvexen Polyeders $X$ als Ecken, und verbindet man zwei "neue" Ecken, wenn die beiden entsprechende Seitenflächen von $X$ eine gemeinsame Kante haben, so erhält man das duale Polyeder $X'$ . Die Eckenzahl von $X'$ ist gleich der Flächenzahl von $X$ und umgekehrt, die Kantenanzahlen sind gleich.

Siehe platonischer Körper, archimedischer Körper

Dualer Graph

Eine ähnliche Definition kennt auch die Graphentheorie für planare Graphen. Ein zum Graphen $G = (V, E)$ dualer Graph $G' = (V', E')$ entsteht, indem in jeder Fläche des Graphen $G$ neue Knoten $v'$ hinzugefügt werden und für jede Kante $e\in E$ eine neue Kante $e'$ erstellt wird, die die $v'$ der beiden angrenzenden Flächen verbindet.

Ist der Graph $G$ nicht nur planar, sondern auch zusammenhängend, so gilt auch hier, dass die Anzahl der Knoten in $G'$ der Anzahl der Flächen in $G$ entspricht, die Anzahl der Flächen in $G'$ derjenigen der Knoten in $G$ und die Anzahl der Kanten bleibt konstant. Im zusammenhängenden Fall gibt es damit bijektive Abbildungen zwischen den Kantenmengen der beiden Graphen und jeweils den Mengen der Knoten und Flächen. Außerdem gilt, dass $G'' = G$ .

Lineare Algebra: Dualraum eines Vektorraumes

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ , so ist der duale Vektorraum oder Dualraum $V *$ der Vektorraum, dessen Elemente die linearen Abbildungen $V\to K$ sind. Ist $V$ endlichdimensional, so hat $V *$ dieselbe Dimension wie $V$ , und $V * *$ ist kanonisch isomorph zu $V$ .

Siehe Dualraum

Funktionalanalysis: Dualraum eines Banachraumes

Im Fall eines Banachraumes $X$ besteht der Dualraum $X *$ aus den stetigen linearen Funktionalen. Im Allgemeinen ist der Bidualraum $X * *$ nicht wieder $X$ selbst. Diejenigen Räume, für die $X = X * *$ gilt, heißen reflexiv; Beispiele sind die Räume L^p für $1<p<\infty$ sowie alle Hilberträume.

Siehe Dualraum

Mengenlehre: Komplementbildung

Eine Dualität, die nicht mit diesem Wort bezeichnet wird, ist die Bildung des Komplementes einer Menge: Ist eine Grundmenge $G$ gegeben, so ist das Komplement einer Teilmenge $M\subseteq G$ die Menge $M^\complement=G\setminus M$ der Elemente von $G$ , die nicht in $M$ liegen. Das Komplement des Komplementes ist wieder $M$ selbst. Die Komplementbildung setzt Vereinigungsmenge und Schnittmenge zueinander in Beziehung: $(M_1\cup M_2)^\complement= M_1^\complement\cap M_2^\complement$ (siehe de Morgansche Regeln).