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Impulserhaltungssatz

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Um ein Kugelstoßpendel zu erklären, benötigt man den Impulserhaltungssatz. Der Energieerhaltungssatz alleine erklärt nicht, warum sich nur die äußersten Kugeln bewegen.

Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik und besagt, dass der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System konstant ist. „Abgeschlossenes System“ bedeutet, dass keine Kräfte von außen auf Teile des Systems einwirken.

Die Impulserhaltung gilt sowohl in der klassischen Mechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Sie gilt unabhängig von der Erhaltung der Energie und ist etwa bei der Beschreibung von Stoßprozessen von grundlegender Bedeutung, wo der Satz besagt, dass der Gesamtimpuls aller Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Impulserhaltung gilt sowohl, wenn die kinetische Energie beim Stoß erhalten bleibt (elastischer Stoß), als auch dann, wenn dies nicht der Fall ist (unelastischer Stoß).

Analog zur Erhaltung des Impulses gibt es auch eine Erhaltung des Drehimpulses, wenn keine äußeren (Dreh-)Momente einwirken. Im Rahmen des Lagrange- und Hamilton-Formalismus werden Impuls- und Drehimpulserhaltung gemeinsam behandelt.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Impuls

Der Gesamtimpuls \vec p = \mathbf{p}=\mathbf p(\mathbf x) eines Systems, welches aus n miteinander wechselwirkenden Massen besteht, ist gerade die Summe der einzelnen Impulse

\mathbf p = \sum_i^n \mathbf{p}_i = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 + \dots + \mathbf{p}_n,

wobei der Impuls in der klassischen Mechanik definiert ist als

\mathbf p = m \mathbf v = m \dot \mathbf x,

wobei v die Geschwindigkeit und m die Masse ist. Weiter ist die in der Physik gebräuchliche Schreibweise für die Ableitung nach der Zeit

\dot \mathbf x = \frac{\mathrm d \mathbf x}{\mathrm d t}.

Damit lässt sich die Summe schreiben als

\mathbf p = \sum_i^n m_i \mathbf v_i = \sum_i^n m_i \dot \mathbf x_i

Da Impulse Vektoren sind, muss ihre Richtung berücksichtigt werden.

Drehimpuls

Der Drehimpuls ist definiert als

\mathbf{L} = \mathbf{x} \times \mathbf{p} = m(\mathbf{x} \times \mathbf{v}) = m(\mathbf{x} \times \dot \mathbf{x}),

wobei \times das Kreuzprodukt ist. Als Summe geschrieben ist dies

\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{x}_i \times \dot{\mathbf{x}}_i .

In Polarkoordinaten sind Ort und Geschwindigkeit definiert als

r = \rho \mathbf e_\rho

sowie

\dot r = \dot \rho \mathbf e_\rho + \rho \dot \varphi \mathbf e_\varphi,

wobei ρ der Abstand vom Mittelpunkt ist (Radius). Damit lässt sich der Drehimpuls in Polarkoordinaten umschreiben, mit

\mathbf L = m \mathbf r \times \dot \mathbf r = \rho \mathbf e_\rho \times (\dot \rho \mathbf e_\rho + \rho \dot \varphi \mathbf e_\varphi) = m \rho^2 \dot \varphi \mathbf e_z.

Impulserhaltung in der Newton'schen Mechanik

Der Impulserhaltungssatz folgt direkt aus dem zweiten und dritten Newton'schen Axiom. Gemäß dem zweiten Newton'schen Axiom ist die auf einen Körper wirkende Kraft gleich der Änderung des Impulses mit der Zeit, also

\mathbf{F} = \dot \mathbf p

Wenn keine Kräfte von außen wirken, muss es gemäß dem dritten Newton'schen Axiom („actio = reactio“) für jede Kraft eine gleich große, aber entgegengesetzt wirkende Gegenkraft geben; die Vektorsumme dieser Kräfte ist daher null. Da dies für alle Kräfte gilt, ist auch die Vektorsumme aller im System auftretender Kräfte und damit auch die Änderung des Gesamtimpulses gleich Null. Es gilt also

\mathbf F = \sum_i^n \mathbf F_i = \sum_i^n \dot \mathbf p_i = \dot \mathbf p = 0,

wodurch p eine Konstante ist. Da der Impuls nur von der Geschwindigkeit abhängt bedeutet dies, dass sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Die Impulserhaltung ist aber nicht auf Fälle beschränkt, bei denen die Kräfte zwischen jeweils zwei Körpern wirken, sondern unabhängig von der Art der Kräfte und gilt auch bei sogenannten „Mehrkörper-Kräften“, die nicht als Paarwechselwirkung verstanden werden können.

Die Impulserhaltung ist auch mit der Aussage äquivalent, dass sich der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Systems ohne äußere Kraft mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegt (dies ist eine Verallgemeinerung des ersten Newton'schen Axioms, das ursprünglich nur für einzelne Körper formuliert wurde).

Impulserhaltung im Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus wird die Bewegungsgleichung eines mechanischen Systems über die Euler-Lagrange-Gleichungen bestimmt. Für diese gilt

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0 ,

wobei L die Lagrangefunktion und qi die generalisierten Koordinaten sind. Die Lagrangefunktion ist in der klassischen Mechanik die Differenz aus der kinetischen Energie T(\dot q) und der Potentiellen Energie V = V(q), mit

L = T − V.

Wenn L nicht von q abhängt, dann ist

\frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0

und somit

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0.

Das bedeutet, das die Größe

p_i:= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}

konstant ist. Man nennt pi den zu qi konjugierten generalisierten Impuls und qi eine zyklische Koordinate.

Impuls

Die Lagrangefunktion für ein freies Teilchen ist allgemein

L = \frac{1}{2}m\dot q^2 - V(q)

mit irgendeinem Potential V(q). Hängt V nicht von q ab (d.h. die Kraft verschwindet), so ist

p = \frac{\partial L}{\partial \dot q} = m \dot q.

Dies ist gerade die Impulserhaltung.

Drehimpuls

In Polarkoordinaten ist das Quadrat der Geschwindigkeit

\dot q^2 = \dot \rho^2 + \rho^2 \dot \varphi^2, sodass die Lagrangefunktion die Form
L=\frac{1}{2}m (\dot \rho^2 + \rho^2 \dot \varphi^2) - V(\rho,\varphi)

annimmt. Hängt das Potential nicht von \varphi ab, so tut dies auch nicht die Lagrangefunktion und die zugehörige Erhaltungsgröße ergibt sich zu

p_\varphi = m \rho^2 \dot \varphi,

was gerade dem Betrag des Drehimpulses in Polarkoordinaten entspricht. Das Potential hängt beispielsweise dann nicht vom Winkel ab, wenn sich ein Objekt auf einer Kreisbahn um einen kugelsymmetrischen Himmelskörper herum bewegt, da die Situation dann unter jedem Winkel gleich bleibt. Das bedeutet gerade, dass sich die Beschleunigung nicht ändert.

Impulserhaltung als Folgerung der Homogenität und Isotropie des Raumes

Impulserhaltung

Unter der Homogenität des Raumes versteht man eine Verschiebungsinvarianz; d.h. ein Prozess am Punkt A wird nicht anders ablaufen, wenn er stattdessen an irgendeinem anderen Punkt B stattfindet. Es besteht kein physikalischer Unterschied zwischen den Punkten A und B in dem Sinne, dass der Raum bei B andere Eigenschaften besäße als bei A. Aus dieser Eigenschaft folgt die Impulserhaltung auf folgende Weise:

Es sei eine generalisierte Koordinate qi, die eine Verschiebung beschreibt und die Lagrangefunktion muss gemäß der Homogenität des Raumes unter dieser Verschiebung invariant bleiben. Dann ist qi eine zyklische Koordinate und der zugehörige generalisierte Impuls ist erhalten.

Der Vektor \mathbf r_i(q_i) sei also um dqi in irgendeine Richtung verschoben, dann ergibt sich durch Taylor-Entwicklung

\mathbf r_i(q_i + \mathrm d q_i) = \mathbf r_i(q_i) + \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}\mathrm d q_i.

Der Ausdruck

\mathbf n_i:= \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}

ist ein Vektor, der die Verschiebungsrichtung angibt. Der zur zyklischen Koordinate qi zugehöriege generalisierte Impuls ist dann

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial \dot q_i} \left(\sum_i^n \frac{1}{2}m_i \dot \mathbf r^2_i \right) = \sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \frac{\partial \dot \mathbf r_i}{\partial \dot q_i}\right).

Hierbei wurde im ersten Rechenschritt angenommen, dass das Potential V nicht von der generalisierten Geschwindigkeit abhängt. Nun benutzt man, dass

\frac{\partial \dot \mathbf r_i}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}

gilt. Damit folgt schließlich

\sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}\right) = \sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \right) \mathbf n_i = \mathbf p \mathbf n.

Demnach ist die Projektion des Gesamtimpulses in Richtung der Verschiebung erhalten. Wenn \mathbf n ein Einheitsvektor ist, ist der generalisierte Impuls mit dieser Projektion identisch. Ist dies nicht der Fall, unterscheidet er sich durch einen konstanten Faktor davon.

Drehimpulserhaltung

Unter der Isotropie versteht man analog zur Homogenität eine Drehinvarianz. In diesem Fall beschreibt eine generalisierte Koordinate qi eine Drehung und die Lagrangefunktion muss unter dieser Drehung invariant bleiben. Dann ist qi wieder eine zyklische Koordinate und der zugehörige generalisierte Impuls ist erhalten.

Die Drehung ergibt sich in diesem Fall zu

\mathbf r_i(q_i + \mathrm d q_i) = \mathbf r_i(q_i) + \mathrm d q_i (\mathbf n_i \times \mathbf r_i(q_i)),

wobei

\mathbf n_i \times \mathbf r_i(q_i) = \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}

gilt und \mathbf n_i in Richtung der Drehachse steht. Das Kreuzprodukt erzeugt so einen Vektor der in Drehrichtung zeigt und damit ganz analog zu dem Vektor in Verschiebungsrichtung im Falle der Impulserhaltung gemeint ist.

Die Rechnung für den generalisierten Impuls ist bis zum letzten Schritt identisch. Dieser wird in diesem Fall zu

\mathbf p = \sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}\right) = \sum_i^n m_i \dot \mathbf r_i (\mathbf n_i \times \mathbf r_i) = \left(\sum_i^n m_i \mathbf r_i \times \dot \mathbf r_i \right)\mathbf n_i = \mathbf L \mathbf n .

Die Komponente des Gesamtdrehimpulses in Richtung der Drehachse ist damit erhalten, und wenn \mathbf n ein Einheitsvektor ist, ist diese Komponente mit dem generalisierten Impuls identisch. Drehimpulserhaltung kann daher auch für einzelne Komponenten gelten, wenn das System um die entsprechende Achse symmetrisch ist. Liegt etwa eine Zylindersymmerie vor, so ist die Komponente in Richtung der Zylinderachse erhalten.

Anmerkung: Das Noether-Theorem

Die oben abgeleiteten Erhaltungssätze sind eigentlich Spezialfälle einer allgemeineren Formulierung, die von Emmy Noether gegeben wurde. Mit dem Noether-Theorem wird allgemein festgelegt unter welchen Umständen es sich bei einer Größe eines physikalischen Systems um eine Erhaltungsgröße handelt und wie diese aussieht.

Impulserhaltung im Kristallgitter

Ein Spezialfall ist ein ideales Kristallgitter, in dem die Translation (Verschiebung) um einen Gittervektor eine Symmetrieoperation ist, also wieder zu einer vom ursprünglichen Gitter nicht unterscheidbaren Anordnung führt; andere Verschiebungen ergeben ein Gitter, dessen Gitterpunkte nicht mehr mit den ursprünglichen Gitterpunkten zusammenfallen. In diesem Fall gilt die Impulserhaltung mit der Einschränkung, dass zum Impuls ein mit dem planckschen Wirkungsquantum \hbar multiplizierter Gittervektor \mathbf{G} des reziproken Gitters addiert werden kann:

\mathbf{p}_{\rm nachher} = \mathbf{p}_{\rm vorher} + \hbar\mathbf{G}

Es kann also Impuls nicht in beliebigem Ausmaß an das Kristallgitter transferiert werden, sondern nur in diskreten Schritten, die durch das reziproke Gitter bestimmt werden. Wenn der Impuls für den kleinsten solchen Schritt zu klein ist, z. B. bei sichtbarem Licht im Inneren eines Kristalls, gilt wieder die Impulserhaltung wie im freien Raum. Daher wird sichtbares Licht in Kristallen nicht gebeugt, hingegen kann Röntgenstrahlung, die einen höheren Impuls hat, gebeugt werden. Die Impulserhaltung unter Berücksichtigung des reziproken Gittervektors ist in diesem Fall äquivalent zur Bragg-Gleichung.

Weblinks

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