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Distanzfunktion

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Distanzfunktionen und Ähnlichkeitsmaße beschreiben den Grad der Übereinstimmung von Vektoren.

In typischen Anwendungen stellen die Vektoren Folgen von Messwerten dar. Ähnlichkeitsmaße werden in Auswertemethoden wie dem Vektorraum-Retrieval und dem Clustering benutzt.

Als Distanzfunktion lassen sich verschiedene Metriken verwenden. Distanzfunktionen werden oft auch unpräzise als Metrik bezeichnet; nicht alle Distanzfunktionen sind jedoch Metriken im streng mathematischen Sinne.

Inhaltsverzeichnis

Häufig verwendete Distanzfunktionen

Lp-Distanz oder Minkowski-Metrik

L_p(x,y) = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}, \quad x,y \in \mathbb{R}^n

Die nachfolgenden Distanzfunktionen (City-Block-Distanz, Euklidische Distanz und Maximum-Distanz) stellen Spezialfälle der Lp-Distanz da

City-Block-, Taxi- bzw. Manhattan-Distanz

d(x,y) = L_1(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|

Siehe auch: Normierter Raum Siehe auch: Manhattan-Metrik

Euklidischer Abstand

d(x,y) = L_2(x,y) = |x-y| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}

Maximum- bzw. Tschebyschow-Distanz

d(x,y) = \lim_{p \rightarrow \infty} L_p(x,y) = \max\{|x_i-y_i|,1 \le i \le n\}

Abstand zweier Mengen

Sei (X,d) ein Metrischer Raum.

Weiter seien A\subset X\ ,\ B\subset X Teilmengen.

Der Abstand zwischen A und B wird definiert als:

dist(A,B):=\inf\, \{d(x,y):\ x\in A\, ,\, y\in B\}

Bemerkung:

dist(\{a\},\{b\})=d(a,b)\

Mahalanobis-Distanz

Siehe dazu Hauptartikel Mahalanobis-Distanz.

Häufig verwendete Ähnlichkeitsmaße

Kosinus-Ähnlichkeitsmaß

Es wird ein Vektorraum über den reellen Zahlen vorausgesetzt.

Die Distanz ist der Kosinus des Winkels α(x,y) zwischen den Vektoren x und y.

d(x,y) = \cos \alpha (x,y) = \frac{x \cdot y}{|x| |y|} = \frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}}

Dabei bezeichnet |x| = \|x\|_2 die euklidsche Norm.

Dice-Ähnlichkeitsmaß

d(x,y) = \frac {2 x \cdot y}{ x^2 + y^2 } = \frac {2 \sum_{i=1}^n x_i y_i} {\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2}

Dabei ist x^2 = x \cdot x = \langle x, x \rangle.

Jaccard- (oder Tanimoto)-Ähnlichkeitsmaß

d(x,y) = \frac {x \cdot y}{ x^2 + y^2 - x \cdot y} = \frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i} {\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i y_i}

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