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Dispersion (Wasserwellen)

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Dispersion (Wasserwellen)

Bei Wasserwellen (Oberflächenwellen) wird unter Dispersion insbesondere die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge bzw. von der Frequenz verstanden. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe (d. h. das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich, sind Gruppen- und Phasengeschwindigkeit identisch. Ist dies nicht der Fall, liegt Dispersion vor. Für alle Wellenarten gilt nach Rayleigh die nachfolgende Beziehung zwischen Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit

c_g=c- L \cdot \frac{dc}{dL}

Hierin ist dc/dL die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach Vorzeichen und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Man unterscheidet normale Dispersion, anomale Dispersion und dispersionslose Bewegung.

dc/dL dc/df
Normale Dispersion > 0 < 0
Anomale Dispersion < 0 > 0
Keine Dispersion = 0 = 0

Schwerewellen

Abweichend von den elektromagnetischen Wellen werden bei Schwerewellen die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

Schwerewellen elektromagnet. Wellen
Wellenlänge L[m] λ
Wellenfrequenz f[Hz] ν
Wellenperiode T =\frac{1}{f}[s] −
Phasengeschwindigkeit c = L\cdot f [m/s] v=\lambda\cdot\nu
Gruppengeschwindigkeit cg[m / s] vg
Wassertiefe d [m] −
Erdbeschleunigung g \left[m/s^2\right] −


Bild:Dispersion c(f).jpg
c(f,d)

Die klassische Dispersionsrelation nach Airy-Laplace ist auch für Wellen nach der nichtlinearen Wellentheorie Stokes 2. Ordnung gültig.

c=L\cdot f=\sqrt{{gL\over{2\pi}}\tanh{2 \pi d\over L}}=\frac{g}{2\pi f}\tanh{2 \pi d\over L}
c(L,d)
c(L,d)

Sie beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wassertiefe d. Hierfür ist

dc/dL\ge0 \ \mbox{bzw.}\ dc/df\le0

Begrenzte Wassertiefe: d ≤ 0,5 L

Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist, können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u. a. in Betracht:

Bei Wellenresonanz tritt anomale Dispersion auf.

Tiefwasser: d ≥ 0,5 L

Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe liegt maximale normale Dispersion vor und die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe unabhängig.

dc/dL=\sqrt{g\over{8\pi\cdot L}} \ \mbox{bzw.}\ dc/df=\frac{-g}{2\pi f^2}
c=L\cdot f=\sqrt{gL\over{2\pi}}=\frac{g}{2\pi f}
c_g=0{,}5c\,

Flachwasser: d ≤ 0,04 L

Im flachen Wasser ist die Wellenbewegung praktisch dispersionlos und nur von der Wassertiefe abhängig.

dc/dL= 0 \ bzw.\ dc/df= 0
c=L\cdot f=\sqrt{g\cdot d}
c_g=c\,

Siehe auch: Wellenresonanz, Dopplereffekt

Kapillarwellen

Für die Fortbewegung von Kapillarwellen gilt

c=L\cdot f=\sqrt{2\pi\sigma\over{\rho L}}=\left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{1/3}

Darin bedeuten σ Kapillaritätskonstante und ρ Flüssigkeitsdichte.

Die Dispersion ist anomal

dc/dL=\frac{-\left(2\pi\sigma L\right)^{-1/2}}{2L} \ \mathrm{bzw.}\ dc/df=\frac{2\pi\sigma}{3\rho}\cdot \left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{-2/3}
Von „http://www.kefk.org/wiki/Dispersion_%28Wasserwellen%29“
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