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Dispersion (Phononen)
Aus Kefk.
Die Dispersion bezeichnet allgemein die Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω von der Wellenzahl k. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential V befinden, in dem sie Schwingungen ausführen.
Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von ka, wobei a der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von 2π entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und 2π. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen − π und π. Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouinzone, also 
. Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.
Es gibt zwei mögliche Schwingungszustände: akustische und optische Moden.
Akustische Phononen
Hierfür lautet die Dispersionsrelation
-
,
wobei f die Kraftkonstante zwischen zwei benachbarten Ebenen und m die Masse eines Atoms ist.
Für niedrige Werte von 
lautet der Ausdruck näherungsweise
-
.
- cs ist die Schallgeschwindigkeit.
An den Zonengrenzen gilt
-
.
Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu
-
.
Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.
Optische Phononen
Für den optischen Ast gilt bei einer zweiatomigen Basis
.
Der optische Zweig ist höherfrequent als der akustische und nahezu dispersionslos.
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