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Disjunkte Vereinigung

Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Eine Menge $X$ ist die disjunkte Vereinigung eines Systems $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen $X_i\subseteq X$ , geschrieben

$X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i,$

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

$X_i\cap X_j=\varnothing,$ falls $i\ne j$ , d.h. die $X i$ sind also paarweise disjunkt;
$X=\bigcup_{i\in I}X_i$ , d.h. $X$ ist die Vereinigung aller Mengen $X i$ .

$\coprod_{i\in I}X_i=\{(i,x)\mid i\in I,x\in X_i\}$

die disjunkte Vereinigung der Mengen

X i

. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Diese Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe.

Eigenschaften

$\Big|\coprod_{i\in I}X_i\Big|=\sum_{i\in I}|X_i|.$

$\coprod X_i$ ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen

$f\colon\coprod_{i\in I} X_i\to Y$

entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen

$(f_i)_{i\in I}$ mit $f_i\colon X_i\to Y$ .

$\coprod_{i\in I}X_i\to\bigcup_{i\in I}X_i$

bijektiv.