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Dirichlet-Bedingung

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Funktionen, insbesondere periodische Funktionen, werden in der Mathematik oft in Fourierreihen entwickelt. Die Dirichlet-Bedingung gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die entwickelte Funktion konvergiert.


Sei f eine im Intervall [ − T / 2,T / 2] definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Das Intervall [-T/2,T/2] lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist.
  2. Ist t0 eine Unstetigkeitsstelle von f(t), so existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, f(t0 + ) und f(t0 − )

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem t \in [-T/2,T/2] gegen

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t)) = \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\ (f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig} \end{cases} .
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