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Dirac-Kamm

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Bild:Dirac-comb.png

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische Schwartz temperierte Distribution dar, die von Diracschen Delta-Distributionen Gebrauch macht.

\Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T)

für eine Periode T. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also

\forall \phi\in C_0^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R) ist \Delta_T \phi:=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\phi(nT).

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Ebenso wie die Gaußsche Glockenkurve ist der Dirac-Kamm ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte eines Dirac-Kamms ist wieder ein Dirac-Kamm, siehe Poissonsche Summenformel. Ähnlich, wie das Produkt der Breiten der korrespondierenden Gaußkurven durch die Heisenbergsche Unschärferelation beschränkt ist, ist auch das Produkt der Perioden der korrespondierenden Dirac-Kämme eine Konstante:

\mathcal{F} \left\{ \Delta_{T} \right\}(\omega) = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \, \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta \left(\omega - \frac{2\pi n}{T} \right) = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \, \Delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega)

D.h. eine Verfeinerung des Kamms im Zeitbereich führt zu einer Vergröberung des Kamms im Frequenzbereich und umgekehrt.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Bild:Dirac-comb - Sampling.png


Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.

Von „http://www.kefk.org/wiki/Dirac-Kamm“
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