Diophantische Gleichung

Aus Kefk

Eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos/Diophant von Alexandria, um 250) ist eine Gleichung der Form f(x₁, x₂, x₃, . . ., x_n) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ergibt einen Sinn, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn Probleme in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Lineare Diophantische Gleichung 3 Berühmte Diophantische Gleichungen 3.1 Pythagoreische Tripel 3.2 Fermats letzter Satz 3.3 Pellsche Gleichung 4 Hilberts Zehntes Problem 5 Literatur

Beispiele

• X² - Y = 0 besitzt als Lösung die Zahlenpaare (1,1), (2,4), (-2,4), (3,9), (-3,9), ... allgemein: (±n,n²).
• X⁴ + Y² + Z²⁰ = -7 besitzt keine Lösung, da die linke Seite der Gleichung immer größergleich Null ist.
• 3X = 4 besitzt keine Lösung, da bei diophantischen Gleichungen nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind.

Lineare Diophantische Gleichung

Diophantische Gleichungen, in denen keine Potenzen auftauchen, nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen, die immer (nach endlich vielen Schritten) alle Lösungen finden. Siehe Lineare Diophantische Gleichung

Berühmte Diophantische Gleichungen

Pythagoreische Tripel

Die Lösungen von X² + Y² = Z² bilden die sogenannten Pythagoreischen Tripel.

Fermats letzter Satz

Wenn man obige Gleichung zu Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ erweitert, erhält man eine diophantische Gleichung, von der Fermat vor 400 Jahren behauptet hat, dass sie für n>2 keine Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen null ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde.

Pellsche Gleichung

Neben der linearen diophantischen Gleichungen ist die so genannte Pellsche Gleichung am wichtigsten x² - D y² = 1, wobei für ein gegebenes D das kleinste Wertepaar x,y zu suchen ist, aus dem sich alle anderen Paare leicht finden lassen.

Hilberts Zehntes Problem

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert das Problem der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung unentscheidbar ist.

Literatur

• Yuri V. Matiyasevich: Hilbert's Tenth Problem. Erschienen in der Reihe Foundations of Computing bei MIT Press. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1993. ISBN 0-262-13295-8.

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