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Differentialform

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Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

Kontext

Es sei U

  • eine offene Teilmenge des \mathbb R^n
  • oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des \mathbb R^n
  • oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

  • den Begriff der differenzierbaren Funktion auf U; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf U werde mit C^\infty(U) bezeichnet;
  • den Begriff des Tangentialraums TpU an U in einem Punkt p\in U;
  • den Begriff der Richtungsableitung Xf für einen Tangentialvektor X\in\mathrm T_pU und eine differenzierbare Funktion f;
  • den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf U; der Raum der Vektorfelder auf U sei mit ΓTU bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums TpU wird als Kotangentialraum \mathrm T^*_pU bezeichnet.

Definition

Eine k-Form oder Differentialform vom Grad k ist eine alternierende C^\infty(U)-multilineare Abbildung \omega\colon(\Gamma\mathrm TU)^k\to C^\infty(U).

Das bedeutet: ω ordnet k Vektorfeldern X_1,\ldots,X_k eine Funktion \omega(X_1,\ldots,X_k) zu, so dass

  • \omega(X_1,\ldots,X'_i+X''_i,\ldots,X_k)=\omega(X_1,\ldots,X'_i,\ldots,X_k)+\omega(X_1,\ldots,X''_i,\ldots,X_k)
  • \omega(X_1,\ldots,f\cdot X_i,\ldots,X_k)=f\cdot\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k) für f\in C^\infty(U),1\leq i\leq k

und

  • \omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_j,\ldots,X_k)=-\omega(X_1,\ldots,X_j,\ldots,X_i,\ldots,X_k),

d.h. vertauscht man zwei der Argumente von ω, so erhält man das Negative des ursprünglichen Wertes.

Alternativ dazu ordnet ω jedem Punkt p\in U eine alternierende \mathbb R-multilineare Abbildung

\omega_p\colon(\mathrm T_pU)^k\to\mathbb R

zu, so dass für k Vektorfelder X_1,\ldots,X_k die Funktion

p\mapsto\omega_p((X_1)_p,\ldots,(X_k)_p)\in\mathbb R

differenzierbar ist.

0-Formen sind differenzierbare Funktionen, und 1-Formen sind pfaffsche Formen.

Die Menge der k-Formen auf U wird mit Ωk(U) bezeichnet. Ist k>\dim U, so ist Ωk(U) = {0}.

Man kann ωp als Element der äußeren Potenz {\bigwedge\!}^k\,\mathrm T^*_pU auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d.h. das Produkt \wedge in der äußeren Algebra) Abbildungen

\Omega^k(U)\times\Omega^\ell(U)\to\Omega^{k+\ell}(U),\quad(\omega,\eta)\mapsto\omega\wedge\eta,

wobei \omega\wedge\eta punktweise definiert ist:

(\omega\wedge\eta)_p=\omega_p\wedge\eta_p.

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, d.h.

\omega\wedge\eta=(-1)^{\deg\omega\cdot\deg\eta}\cdot\eta\wedge\omega;

dabei bezeichnet degω den Grad von ω, d.h. ist ω eine k-Form, so ist degω = k.

Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung dω einer k-Form ω wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

\mathcal L_X=i_X\circ\mathrm d+\mathrm d\circ i_X

definiert; dabei ist X ein Vektorfeld, \mathcal L_X die Lie-Ableitung und iX die Einsetzung von X.

Ist beispielsweise ω eine 1-Form, so ist

(\mathcal L_X\omega)(Y)=\mathcal L_X(\omega(Y))-\omega(\mathcal L_X(Y))=X\omega(Y)-\omega([X,Y])

und

((\mathrm d\circ i_X)\omega)(Y)=(\mathrm d(\omega(X)))(Y)=Y\omega(X),

also

dω(X,Y) = Xω(Y) − Yω(X) − ω([X,Y])

für Vektorfelder X,Y; dabei bezeichnet [X,Y] die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

\mathrm d\omega(X_1,\ldots,X_{k+1})=\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1} X_i\omega(X_1,...,\hat X_i,...,X_k)+{}
{}+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,...,\hat X_i,...,\hat X_j,...,X_k);

dabei bedeutet \hat X_i, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

  • d ist \mathbb R-linear.
  • \mathrm d(\omega\wedge\eta)=\mathrm d\omega\wedge\eta+(-1)^{\deg\omega}\omega\wedge\mathrm d\eta; dabei bezeichnet degω den Grad von ω, d.h. ist ω eine k-Form, so ist degω = k.
  • ddω = 0
  • Für eine Funktion f, aufgefasst als 0-Form, stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.

Koordinatendarstellung

Ist \{x_1,\ldots,x_n\} ein Koordinatensystem auf U, so folgt aus den Eigenschaften der äußeren Algebra, dass eine lokale Basis der k-Formen durch

\{\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}\mid i_1<\ldots<i_k\}

gegeben ist, d.h. jede k-Form ω hat eine eindeutige Darstellung der Form

\omega=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}a_{i_1,\ldots,i_k}\cdot\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen a_{i_1,\ldots,i_k}. An dieser Darstellung ist auch abzulesen, dass für k > n die Nullform ω = 0 die einzige k-Form ist.

Die äußere Ableitung ist in dieser Darstellung durch die Formel

\mathrm d\omega=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}\mathrm da_{i_1,\ldots,i_k}\wedge\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}

gegeben.

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Relationen

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j=-\mathrm dx_j\wedge\mathrm dx_i

und

\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_i=0

wichtig; beispielsweise ist für n = 2

\mathrm d(f_1\cdot\mathrm dx_1+f_2\cdot\mathrm dx_2)
{}=\mathrm df_1\wedge\mathrm dx_1+\mathrm df_2\wedge\mathrm dx_2
{}=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2 +\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_2
{}=\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2.

Für n=3 bilden die Koeffizienten der Differentialform bei analogem Vorgehen der rot (Rotations-) Vektor der Vektoranalysis.

Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie

Eine k-Form ω heißt geschlossen, wenn dω = 0 gilt; sie heißt exakt, wenn es eine (k − 1)-Form η gibt, so dass ω = dη gilt. Aufgrund der Formel ddη = 0 ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist {Vα} eine offene Überdeckung von U, so ist eine k-Form ω genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von ω auf Vα für jedes α geschlossen ist.

Der Faktorraum

{geschlossene k-Formen auf U}/{exakte k-Formen auf U}

heißt k-te de-Rham-Kohomologiegruppe \mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U) (nach Georges de Rham). Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von U.

Das Poincaré-Lemma (nach Henri Poincaré) besagt, dass

\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=0 für k > 0

gilt, oder allgemeiner für zusammenziehbare offene Teilmengen des \mathbb R^n. (Man beachte, dass \mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U) aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also \mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U)\not=0 für jedes U\not=\varnothing.)

Ist ω geschlossen und η = dη' exakt, so folgt

\omega\wedge\eta=\omega\wedge\mathrm d\eta'=(-1)^{\det\omega}\mathrm d(\omega\wedge\eta'),

entsprechend falls ω exakt und η geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U)\times H^m_{\mathrm{dR}}(U)\longrightarrow\mathrm H^{k+m}_{\mathrm{dR}}(U).

Siehe auch de-Rham-Kohomologie, Kokettenkomplex

Orientierung

Ist n=\dim U, so heißt eine n-Form auf U, die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf U. U zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung ω definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: eine Basis \eta_1,\ldots,\eta_n des Kotangentialraums in einem Punkt p sei positiv orientiert, wenn

\omega_p=a\cdot\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n

mit einer positiven Zahl a gilt; eine Basis X_1,\ldots,X_n des Tangentialraums in einem Punkt p sei positiv orientiert, wenn

\omega(X_1,\ldots,X_n)>0

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist U zusammenhängend, so gibt es entweder bis auf Äquivalenz genau zwei oder gar keine Orientierungen.

U heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von U existiert.

Siehe auch Orientierung (Mathematik)

Integral von Differentialformen

Es sei wieder n=\dim U, und wir nehmen an, auf U sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

∫ω
U

für n-Formen ω. Ist U\subseteq\mathbb R^n eine offene Teilmenge, x_1,\ldots,x_n eine positiv orientierte Basis und

\omega=f\cdot\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n,

so ist

∫ω = ∫f;
UU

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral.

Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition unabhängig von Koordinatenwechseln ist.

Siehe auch Integral von Differentialformen

Satz von Stokes

Ist M eine kompakte orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand \partial M, und versieht man \partial M mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede (n − 1)-Form ω

\int_M\mathrm d\omega=\int_{\partial M}\omega.

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Ist M geschlossen, d.h. hat M keinen Rand, so folgt

∫ω = 0
M

für jede exakte n-Form ω. Damit definiert das Integral eine Abbildung

\mathrm H^n_{\mathrm{dR}}(M)\to\mathbb R.

Ist M zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus.

Siehe auch Satz von Stokes

Zurückziehen ("pull-back") von Differentialformen

Ist f\colon M \to N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für \omega \in \Omega^k(N) die mittels f zurückgeholte Form f^*\omega \in \Omega^k(M) wie folgt definiert:

f^*\omega(X_1, \ldots, X_k) := \omega(f_*(X_1), \ldots, f_*(X_k))

dabei sei f_*\colon TM \to TN die Ableitung von f. Mit den anderen Operationen ist das Zurückziehen verträglich, es gilt

f * (dω) = d(f * ω)

und

f^*(\omega \wedge \eta) = f^*\omega \wedge f^*\eta

für alle \omega, \eta \in \Omega^*(N).

Insbesondere induziert f eine Abbildung

f^*\colon\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(N)\longrightarrow\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(M).

Duale Form und Stern-Operator

Betrachtet werden äußere Formen in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, so dass eine orthonormale Basis ei des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad k in diesem n-dimensionalen Raum duale Form ist eine (n-k)-Form

*(e_1\wedge e_2\wedge ... \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge ... \wedge e_n.

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge) *-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z
*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x
*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y

mit den 1-Formen dx, dy dz. Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier (y,z), (x,y) und (z, x) ist (zyklische Verschiebungen in (x,y,z)).

Das *-Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum M gegeben ist, denn \alpha \wedge *\beta lässt sich für zwei k-Formen α und β als Volumenform schreiben und das Integral

(\alpha,\beta)=\int_M \alpha\wedge *\beta

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine k-Form wieder die k-Form ergibt, bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine k-Form in einem n-dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur s hat (s=+ 1 im euklidischen Raum, s= - 1 im Minkowski-Raum):

**\alpha=(-1)^{k(n-k)}s\;\alpha

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form α die 2-Form d \wedge \alpha ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diesen rot-Vektor kann man mit Hilfe des *-Operators nun auch formal direkt als 1-Form schreiben: * d \wedge \alpha . Analog wird der *-Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit M (mit Metrik gαβ und Determinante der Metrik g, wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes gilt) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

\mathrm{d}\bold{F} = 2(\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma})\mathrm{d}\,x^{\alpha}\wedge \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} = 0

(die so genannte Bianchi-Identität) und

\mathrm{d} * \bold{F} = {F^{\alpha\beta}}_{;\alpha}\sqrt{-g} \, \epsilon_{\beta\gamma\delta\eta}\mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\eta} = \bold{J}

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form

\bold{F} = F_{\alpha\beta} \,\mathrm{d}\,x^{\alpha} \wedge \mathrm{d}\,x^{\beta}

und dem Strom (geschrieben als 3-Form)

\bold{J} = J^{\alpha} \sqrt{-g} \, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta}

Hierbei ist εαβγδ das Antisymmetrisierungs-Symbol (Levi-Civita-Symbol) und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indices summiert (Einstein-Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit c=1). Durch Anwendung des *-Operators kann man die zweite Maxwellgleichung auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass F und *F in der Elektrodynamik unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen haben duale Symmetrie.

Siehe auch

Literatur

  • Shigeyuki Morita Geometry of differential forms, American Mathematical Society 2001, ISBN 0821810456 (viel Anschauung in diesem Buch)
  • Harley Flanders Differential forms with applications to the physical sciences, Academic Press 1963
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