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Determinantenfunktion

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In der Linearen Algebra ist eine Determinantenfunktion eine spezielle Funktion, die einer Folge von n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt eine Funktion f : V^n \rightarrow K Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • f ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:
\forall \, i \in \{1,...,n\}, \; \forall \, a, b \in V : f(v_1,...,v_{i-1},a+b,v_{i+1},...,v_n) = f(v_1,...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_n) + f(v_1,...,v_{i-1},b,v_{i+1},...,v_n) (Additivität)
\forall \, i \in \{1,...,n\}, \; \forall \, a \in V, \; \forall \, r \in K : f(v_1,...,v_{i-1},r \cdot a,v_{i+1},...,v_n) = r \cdot f(v_1,...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_n) (Homogenität)
  • f ist alternierend:
(\exists \, r, s \in \{1,...,n\} : v_r = v_s) \Rightarrow f(v_1,v_2,...,v_n) = 0

Eigenschaften

  • Eine Determinatenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation σ: f\left(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot f\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right), wobei sgn das Signum der Permutation bezeichnet.
  • Sind v_1, v_2, \dots, v_n \in V linear abhängig, so gilt f(v_1, v_2, \dots, v_n) = 0. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. f \not \equiv 0 ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
  • Sind f,g : V^n \rightarrow K zwei Determinantenfunktion und f \not \equiv 0, dann gibt es ein a \in K so, dass g(v_1, v_2, \dots, v_n) = a \cdot f(v_1, v_2, \dots, v_n) \; \forall \, v_1, v_2, \dots, v_n \in V. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstante gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

  • Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinatenfunktion.
  • V = \mathbb{R}^n, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
  • Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Siehe auch

Literatur

H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3

Weblinks

Wikipedia
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