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Derivation (Mathematik)

Aus Kefk.

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie die Leibnizregel erfüllen.

Inhaltsverzeichnis

1 Derivationen einer Algebra
2 Derivationen in der kommutativen Algebra
3 Antiderivationen
- 3.1 Beispiele

Derivationen einer Algebra

Definition

Es sei $R$ ein unitärer Grundring, beispielsweise ein Körper wie $\mathbb R$ oder $\mathbb C$ . Weiter sei $A$ eine $R$ -Algebra. Eine ( $R$ -lineare) Derivation von $A$ ist eine $R$ -lineare Abbildung $D\colon A\to A$ , die

D (a 1 a 2) = D (a 1) a 2 + a 1 D (a 2)

für alle $a_1,a_2\in A$

erfüllt.

Eigenschaften

Ist $A$ eine unitäre Algebra, so gilt $D (r) = 0$ für alle $r\in R$ .
Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
Die Menge der Derivationen bildet mit dem Kommutator eine Liealgebra: Sind $D 1$ und $D 2$ Derivationen, so auch

$[D_1,D_2]=D_1\circ D_2-D_2\circ D_1.$

Beispiele

Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Liealgebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:

[X,[A, B]] = [[X, A], B] + [A,[X, B]].

Derivationen in der kommutativen Algebra

Es gelten die üblichen Annahmen der kommutativen Algebra.

Definition

Es seien $R$ ein Ring, $A$ eine $R$ -Algebra und $M$ ein $A$ -Modul. Eine $R$ -lineare Abbildung $D\colon A\to M$ heißt ( $R$ -lineare) Derivation (von $A$ mit Werten in $M$ ), wenn

D (a 1 a 2) = a 2 D (a 1) + a 1 D (a 2)

für alle $a_1,a_2\in A$

gilt.

Eigenschaften

Ist $D$ eine $R$ -lineare Derivation einer $R$ -Algebra $A$ , so gilt $D (r) = 0$ für alle $r\in R$ .
$D (a n) = n a n - 1 D (a)$ für nichtnegative ganze Zahlen $n$ .

Derivationen und Kähler-Differentiale

Per definitionem werden $R$ -lineare Derivationen einer Algebra $A$ durch den Modul $Ω A / R$ der Kähler-Differentiale klassifiziert, d.h. es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den $R$ -linearen Derivationen von $A$ mit Werten in einem $A$ -Modul $M$ und den $A$ -linearen Abbildungen $\Omega_{A/R}\to M$ . Jede Derivation $D\colon A\to M$ entsteht als Verkettung der universellen Derivation $\mathrm d\colon A\to\Omega_{A/R}$ mit einer $A$ -linearen Abbildung $\Omega_{A/R}\to M$ .

Antiderivationen

Ist $A$ eine $\mathbb Z$ - oder $\mathbb Z/2\mathbb Z$ -graduierte $R$ -Algebra, so heißt eine $R$ -lineare graduierte Abbildung $D\colon A\to A$ eine Antiderivation, wenn