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Debye-Modell

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In der Festkörperphysik beschreibt das Debye-Modell (nach Peter Debye) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen.


Grundlagen des Modells

Bild:Debye dispersion.png
Dispersionsrelation im Vergleich mit dem Ergebnis von einfachen harmonischen Oszillatoren

Gegenüber dem Einstein-Modell, welches N unabhängige Oszillatoren mit gleicher Frequenz annimmt, berücksichtigt das Debye-Modell die Existenz einer Dispersionsrelation, d.h. einer Vielzahl möglicher Frequenzen in Abhängigkeit des Wellenvektors.

Die Phononendispersion wird als linear bis hin zu einer oberen Grenzfrequenz (Debyefrequenz) angenommen. Die obere Grenzfrequenz ergibt sich, wenn man alle Moden aufaddiert, da die Gesamtanzahl der Moden mit der Anzahl der Atome übereinstimmen muss, d.h. dass die Grenzfrequenz im Debye-Modell niedriger ist als die von einem harmonischen Oszillatoransatz (siehe Bild).

Ergebnisse des Modells

Dieses Modell trifft korrekte Voraussagen über die T3 - Abhängigkeit der Wärmekapazität im Niedrigtemperaturlimit. Für T \ll \Theta_D (die Debye-Temperatur) gilt für den Phononen-Anteil der molaren Wärmekapazität mit r Atomen pro Elementarzelle

C = {12 r R \pi^4 \over 5} {T^3 \over \Theta_D^3 }

Wie das Einstein-Modell liefert das Debye-Modell für T > ΘD das korrekte Hochtemperaturlimit nach Dulong-Petit. Das Debye-Modell nähert die Dispersionsrelation von Phononen linear ω = vSchall * k, wobei zusätzlich transversale und longitudinale Geschwindigkeit als gleich angenommen wurden. Dadurch wird die Phononendichte

g = {dN \over d\omega} = {3 \omega^2 \over {2 \pi^2 v_{S}^3}}

Da diese Dichte für hohe ω divergiert, muss die Dichte bei einer bestimmten (materialabhängigen) Frequenz ωmax abgeschnitten werden. Diese Grenzfrequenz wird oft als Temperatur einer gleich-energetischen thermischen Anregung angegeben.

Die Abhängigkeit

C=\partial_T U mit U = 3 \int_0^{\omega_{max}} {g(\omega) \hbar \omega \over e^{\hbar \omega \over k_B T} - 1 } d\omega und \omega_{max}= { \Theta_D k_B \over \hbar }

ist allerdings nicht allgemein analytisch, sondern nur numerisch oder für Teile der Temperaturskala genähert lösbar, wie oben für kleine Temperaturen.

Debye-Temperaturen verschiedener Materialien

ΘD in K
Blei 95
Natrium 160
Gold 165
Silber 225
Kupfer 345
Aluminium 428
α-Eisen 464
Chrom 610
Diamant 1850
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