Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

D’Alembertoperator

Aus Kefk.

(Weitergeleitet von D'Alembertoperator)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der d’Alembert-Operator \Box (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein Differentialoperator, der sich aus der Verallgemeinerung des Gradienten im vierdimensionalen Minkowskiraum ergibt. Er wird auch Quabla, Viereckoperator oder Wellenoperator genannt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Vierergradient durch

\partial_\mu=\left(\partial_{ct},\nabla \right)=\left(\partial_{ct},\partial_x,\partial_y ,\partial_z \right) .

definiert. Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Heraufziehen des kovarianten Index mit:

\partial^\mu=\eta ^{\mu \nu}\partial_{\nu}=\left(\partial_{ct},-\partial_x,-\partial_y ,-\partial_z \right)

Durch Kombination der beiden Operatoren lässt sich der lorentzinvariante d’Alembert-Operator bilden:

\Box := \partial^\mu \partial_\mu = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial ^2}{\partial z^2} = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta

Er enhält nur zweite Ableitungen.

Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Üblicherweise wird in der SRT die Konvention (+,-,-,-) für die Minkowskimetrik verwendet. In älteren Literaturquellen kann auch manchmal die Konvention (-,+,+,+) gefunden werden. Für die erste Signatur ergibt sich der d’Alembert-Operator, wie oben bereits gezeigt, zu:

\Box = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta

Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen dass es sich bei der Elektrodynamik bereits um eine relativistische Theorie handelte, noch ehe man die SRT kannte. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik. Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann für eine zweimal differenzierbare Funktion f(x,t) die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden

\Box f = 0

Buchtipp

  • Torsten Fließbach: "Elektrodynamik". Lehrbuch zur theoretischen Physik, 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort D%E2%80%99Alembertoperator, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://www.kefk.org/wiki/D%E2%80%99Alembertoperator“
Persönliche Werkzeuge