Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbelsinus, bzw. Hyperbelkosinus. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definition

Sinus Hyperbolicus:

$\sinh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)$ .

Kosinus Hyperbolicus:

$\cosh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)$ .

Eigenschaften

Bild:Sinh.png

Graph der Funktion sinh(x)

Bild:Cosh.svg

Graph der Funktion cosh(x)

	Sinus Hyperbolicus	Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$- \infty < x < + \infty$
Wertebereich	$- \infty < f(x) < + \infty$	$1 \le f(x) < + \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	x < 0 streng monoton fallend x > 0 streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	Achsensymmetrie zur y-Achse
Asymptotische Funktionen	$a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}$	$a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}$
Asymptotische Funktionen	$a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x}$	$a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}$
Nullstellen	$x = 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei $x = 0$
Wendepunkte	$x = 0$	keine

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man "Areasinus Hyperbolicus"

${\rm arsinh}(x):= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ .

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man "Areakosinus Hyperbolicus".

${\rm arcosh}(x):= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh(x) = \cosh(x)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\cosh(x) = \sinh(x)$

Integral

$\int \sinh(x)\, dx = \cosh(x) + C$

$\int \cosh(x)\, dx = \sinh(x) + C$

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus lautet:

$\sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x+ \frac16 x^3 + \frac {1}{120} x^5+\cdots$

$\cosh(x)= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}} {(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + ...$

Produktentwicklung

Kosinus Hyperbolicus:

$\cosh(x)= \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)$

Komplexes Argument

$\operatorname{sinh}(x+iy) = \sinh(x)\cos(y) + i \cdot \cosh(x)\sin(y)$ mit $x,y \in \mathbb{R}$

$\operatorname{sinh} (ix) = i \cdot \sin(x)$

$\operatorname{cosh}(x+iy) = \cosh(x)\cos(y) + i \cdot \sinh(x)\sin(y)$ mit $x,y \in \mathbb{R}$

$\operatorname{cosh} (ix) = \cos(x)$

Weiteres

$f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x)$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ löst die Differenzialgleichung

$f''\left( x \right) - f(x) = 0$

Außerdem gilt der Zusammenhang

$\operatorname{cosh}^2 x - \operatorname{sinh}^2 x = 1$ für alle

x

.

Siehe auch

Bild:F of x.svg

Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

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Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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Inhaltsverzeichnis

Definition

Eigenschaften

Umkehrfunktion

Ableitung

Integral

Reihenentwicklung

Produktentwicklung

Komplexes Argument

Weiteres

Siehe auch

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