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Charakteristische Funktion (Mathematik)

Aus Kefk.

Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Begriff der charakteristischen Funktion einer Teilmenge. Für charakteristische Funktionen in anderen Bereichen siehe Charakteristische Funktion (Physik) und charakteristische Funktion (Stochastik).

Gegeben sei eine Menge $X$ . Die charakteristische Funktion einer Teilmenge $T\subseteq X$ ist definiert durch:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): \chi_T:X\to \{0,1\},\ x\mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls } x \in T \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}

Die Schreibweise $1 T$ und die Bezeichnung Indikatorfunktion sind ebenfalls gebräuchlich.

Die Zuordnung $T\mapsto \mathrm 1_T$ liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge $\mathcal P(X)$ und der Menge aller Funktionen von $X$ in die Menge ${0,1}$ .

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf $T$ eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): \chi_T\,':X\to \{0,1\},\ x\mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls } x \in T \\ \text{undefiniert}, & \text{sonst} \end{cases}

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Kategorien: Mathematischer Grundbegriff | Berechenbarkeitstheorie